2014. május 31., szombat

Másodfokú függvény teljes négyzetté alakítása

Mi az a teljes négyzet? Miért előnyös a teljes négyzetté alakított egyenlet a másodfokú függvény ábrázolásában? Hogyan tudjuk átalakítani a másodfokú egyenlet általános alakját teljes négyzetté? Hogyan alkalmazzuk a teljes négyzetté alakítást a gyakorlatban?

Mi az a teljes négyzet? Hol tudjuk használni?
Ha a másodfokú egyenlet általános alakban van felírva, azt át tudjuk alakítani úgy, hogy a derékszögű koordináta-rendszerben "számolás nélkül" tudjuk ábrázolni.
Ehhez az alábbi alakra célszerű hozni a másodfokú kifejezésünket:
(x+a)² + b
Ez a jelölés jelen esetben félreértést okozhat, ugyanis az itt szereplő paraméterek jelei (a, b) szerepelnek a másodfokú egyenlet általános alakjában is. Ennek kiküszöbölésére az 'a' helyett 'p'-t, a 'b' helyett pedig 'q'-t fogok használni.

Ennek alapján a teljes négyzet alakja:
(x+p)² + q, ami egész pontosan:
a∙(x+p)² + q
Megjegyzés:
Korábbi, a másodfokú függvény ábrázolását tárgyaló bejegyzésben már használtuk ezt az alakot. Az ott leírtak természetesen most is használhatóak, azzal az eltéréssel, hogy ami ott 'a'-val van jelölve, az helyett itt 'p'-t, illetve az ottani 'b' helyett itt 'q'-t kell érteni.
Tehát a 'p' mutatja az x-tengellyel párhuzamos, DE ellentétes irányú, a 'q' pedig az y-tengellyel párhuzamos, megegyező irányú elmozdulását az alapfüggvénynek.


Ez azért előnyös számunkra, mert ebből a képletből le tudjuk olvasni a másodfokú függvény minimumpontját, amiből kiindulva fel tudjuk rajzolni az x² alapfüggvényt, illetve annak egy transzformációját.

Általános alakból teljes négyzet – lépésenként
Tegyük fel, hogy adott a másodfokú kifejezés általános alakja:
a∙x² + b∙x + c = ?
A teljes négyzetté alakításhoz az alábbi lépésekre van szükség:
1.) Minden tagból emeljük ki az x² együtthatóját (a-t), hogy ott mindenképpen 1 legyen.
= a∙[x² + (b/a)∙x + (c/a)]
2.) A [] zárójelen belüli kifejezésből megállapíthatjuk a 'p' értékét az alábbi módon:
p = (b/a):2 = b/2a
3.) Írjuk fel az eddigi eredményeinket:
a∙[(x + b/2a)²]
4.) Ha elvégezzük a négyzetre emelést, akkor észrevehetjük, hogy a [] zárójelen belüli másodfokú kifejezés első két tagja rendben van, de többletként jelenik meg (a zárójelen belüli) "a második tag négyzete", amit ki kell vonnunk a hatványból. Így az alábbi képlethez jutunk:
a∙[(x + b/2a)² – (b/2a)²]
5.) Már csak a konstans tag hiányzik, tehát egészítsük ki az eddigi eredményünket a konstans értékével:
a∙[(x + b/2a)² – (b/2a)² + c/a]
6.) Végezzük el a lehetséges egyszerűsítéseket, összevonásokat.

Megjegyzés:
A fentiek alapján tehát:
p = b/2a;
q = – (b² – 4∙a∙c) / 4∙a = –D / 4a;

Ezeknek a képleteknek a fejben tartása teljes mértékben felesleges, itt is inkább magára a módszerre helyezzük a hangsúlyt.

Általános alakból teljes négyzet – alkalmazás, lépésenként
A fenti lépéseket alkalmazzuk a következő másodfokú kifejezésre:
2∙x² – 6∙x + 11 = ?
Ehhez az alábbi lépéseket hajtsuk végre:
1.) Minden tagból emeljük ki az x² együtthatóját, azaz a 2-t.
2∙[x² – 3∙x + 11/2]
2.) Számítsuk ki a 'p' értékét az alábbi módon:
p = (b/a):2 = (-3):2 = (-3/2)
3.) Írjuk fel az eddigi eredményeinket:
2∙[(x – 3/2)²]
4.) Ha felbontjuk a zárójelet, akkor észrevehetjük, hogy a másodfokú kifejezés első két tagja rendben van, de többletként jelenik meg (a zárójelen belüli) "a második tag négyzete", amit ki kell vonnunk a hatványból. Így az alábbi képlethez jutunk:
2∙[(x – 3/2)² – (3/2)²]
5.) Már csak a konstans tag hiányzik, tehát egészítsük ki az eddigi eredményünket a konstans értékével:
2∙[(x – 3/2)² – (3/2)² + 11/2]
6.) Végezzük el a lehetséges egyszerűsítéseket, összevonásokat.
2∙(x – 3/2)² + 13/2

Másodfokú függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítás után - gyakorlat
Feladat:
Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben a következő függvényt:
f(x) = x² + 4∙x – 5
Ahhoz, hogy tudjuk ábrázolni ezt a függvényt a derékszögű koordináta-rendszerben, teljes négyzetté kell alakítanunk, amit a fenti lépések követésével az alábbiak szerint tehetünk meg:
f(x) = x² + 4∙x – 5 = (x+2)² – 4 – 5 = (x+2)² – 9
Ennek alapján pedig már tudjuk ábrázolni a függvényt.
Ehhez először olvassuk le a parabola szélsőértékének (minimumpontjának) a koordinátáját. Jelen esetben ez a koordináta: (-2; -9).
Ebből a pontból indulva felrajzolhatjuk a másodfokú függvényhez szükséges íveket az alapfüggvény alapján.


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------