2014. május 10., szombat

A másodfokú egyenlet általános alakja és a hozzá tartozó megoldóképlet

Milyen a másodfokú egyenlet általános alakja? Mi a hozzá tartozó megoldóképlet? Hogyan tudjuk használni a megoldóképletet a gyakorlatban? Milyen "apróságokra" kell odafigyelni?

Mi a másodfokú egyenlet általános alakja? Mire kell ügyelni?
Az alábbi kifejezés mutatja a másodfokú egyenlet általános alakját:
a∙x² + b∙x + c = 0
Mivel ez az általános alak, ez azt is jelenti, hogy minden másodfokú egyenletet (ekvivalens átalakításokkal) fel tudunk írni a fenti formában.

A fenti (nullára redukált) alakban az egyes tagok fokszám szerint csökkenő sorrendben szerepelnek, tehát elöl van a másodfokú tag (a∙x²), azt követi az elsőfokú tag (b∙x), ezt a konstans tag (c), végül pedig a jobb oldalon álló nulla.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete
Ha a másodfokú egyenletünket a fenti alakra hoztuk, akkor könnyedén alkalmazhatjuk rá a másodfokú egyenlet megoldóképletét:


Látható, hogy két megoldása van az egyenletnek, viszont ezek eredménye csak a komplex számok halmazán határozható meg minden esetben. Ha az alaphalmaz a valós számok halmaza, akkor azt mondhatjuk, hogy a feladatnak legfeljebb két megoldása van: 0, 1 vagy 2.
(Arról, hogy hogyan lehet megállapítani, hogy az adott egyenletnek hány megoldása van, később lesz szó.)

Az egyes megoldásokat adó képletek között látható, hogy nincs nagy eltérés, ezért azokat az alábbi módon használjuk, természetesen tudva azt, hogy itt két megoldást kaphatunk:


Nagyon fontos, hogy nem választható el egymástól a másodfokú egyenlet általános alakja és a megoldóképlet, ugyanis a megoldóképletben használt paraméterek (a, b, c) az általános alakban található paramétereket (a, b, c) jelentik.

Eszerint a megoldóképletben található paraméterek közül az 'a' jelenti az általános alakban felírt másodfokú tag együtthatóját, a 'b' jelenti az elsőfokú tag együtthatóját, míg a 'c' jelenti a konstans tagot.

Mire ügyeljünk a megoldóképlet használata során?
A fentiekből kitűnhet, hogy nagyon fontos, hogy milyen alakra hozzuk a megoldandó másodfokú egyenletet. Célszerű pontosan olyan alakot felírni, mely megegyezik a másodfokú egyenlet fentebb látható általános alakjával.

Az alábbiakat javaslom betartani az átalakítás során:
– ügyeljünk az egyes tagok sorrendjére, azaz a bal oldalon az első tag a másodfokú tag (x²) legyen, azt kövesse az elsőfokú tag (x), majd azután legyen a konstans (természetesen a jobb oldalon nulla kell, hogy legyen);
– ha lehet, akkor a másodfokú tag együtthatója legyen pozitív, és törekedjünk arra, hogy ez (+1) legyen, természetesen úgy, hogy ne kelljen törtekkel számolni;
– az első időszakban megtehetjük, hogy külön kigyűjtjük az egyes paramétereket (a, b, c értékét), nagyon fontos, hogy ezeket előjelekkel együtt tegyük;
– behelyettesítéskor a kigyűjtött paramétereket előjelesen, ha kell zárójellel együtt írjunk a megfelelő helyekre, s a számolást annak megfelelően végezzük;
– fordítsunk különös figyelmet az előjeles számokkal való műveletvégzésre (ha szükséges, olvassa el az erről szóló bejegyzéseket: előjeles számok 1: összeadása, 2: kivonása, 3: szorzása, 4: osztása);
– ha a négyzetgyökjel alatt negatív szám áll, akkor abból nem tudunk négyzetgyököt vonni, ne is erőltessük (ezt a számológép az 'E', vagy 'Error' hibaüzenettel finoman jelzi is számunkra)
– tartsuk be a műveletek sorrendjére vonatkozó szabályokat: zárójel, hatványozás (négyzetgyökvonás), szorzás/osztás, összeadás/kivonás

Másodfokú egyenlet megoldóképletének alkalmazása a gyakorlatban
1. feladat:
Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi másodfokú egyenletet!
x² – 3x + 2 = 0
Látható, hogy a tagok sorrendje megfelelő, gyűjtsük ki az egyes paraméterek értékét.
a = 1
b = (-3)
c = 2
Írjuk fel a (rövid) megoldóképletet, majd helyettesítsük be az egyes paraméterek értékeit, ügyelve az előjelek megtartására:


Az alábbiak szerint végezzük el a számolást:


Ettől a lépéstől kezdve már külön kell választanunk a két megoldást, amit az alábbiak szerint szoktunk jelölni:


Megjegyzés:
Amennyiben az oktató azt kéri, hogy a két megoldás kiszámítása más módon történjen, természetesen a felmérőben, vizsgán, annak megfelelően számítsa ki a megoldást, ugyanis előfordulhat, hogy befolyásolja az Ön mnkájának értékelését! Ezt jó előre, még a tanulási fázisban tisztázni egymás között.


Nincs más hátra, mint a feladat ellenőrzése, majd hibátlan megoldás eseteén a végeredmények felírása.
A mi esetünkben:
x1 = 2
x2 = 1
Most következzen egy olyan feladat, melyben már komoly átalakításokat kell elvégezni ahhoz, hogy végre használni tudjuk a hozzá tartozó megoldóképletet.
2. feladat:
Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi másodfokú egyenletet!
(x+2)² – 3∙(x–4)² = (2x–3)² + 13∙(2x–11) + 2x
Ahhoz, hogy a megoldóképletet használhassuk, bontsuk fel a zárójeleket, hajtsuk végre mindkét oldalon az összevonásokat.
Ekkor az alábbi egyenlethez jutunk:
-2∙x² + 28∙x – 44 = 4∙x² + 16∙x – 134
Most nullára kell redukálnunk az egyenletet, amit megtehetünk úgy, hogy a bal oldalon legyen a nulla és úgy is, hogy a jobb oldalon legyen a nulla. Azonban, ha a nulla a jobb oldalra kerül, akkor a bal oldalon keletkező másodfokú tag együtthatója negatív, mégpedig (-6) lenne, ami csak felesleges hibaforrás lenne a megoldóképletben. Tehát rendezzük a tagokat úgy, hogy a bal oldalon legyen a nulla:
0 = 6∙x² – 12∙x – 90
Észrevehetjük, hogy minden együttható osztható 6-tal, ezért tegyük meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 6-tal, továbbá felcseréljük a bal és jobb oldalon álló kifejezéseket. Ennek eredménye a következő egyenlet lesz:
x² – 2∙x – 15 = 0
Látható, hogy így már a tagok sorrendje megfelelő, elértük, hogy a másodfokú tag együtthatója (+1) legyen, további átalakítást nem szükséges végeznünk, gyűjtsük ki az egyes paraméterek értékét.
a = 1
b = (-2)
c = (–15)
Írjuk fel a (rövid) megoldóképletet, majd helyettesítsük be az egyes paraméterek értékeit, ügyelve az előjelek megtartására:


Az alábbiak szerint végezzük el a számolást:


Ettől a lépéstől kezdve válasszuk külön a két megoldást az alábbiak szerint:


Nincs más hátra, mint a feladat ellenőrzése, majd hibátlan megoldás eseteén a végeredmények felírása.
A mi esetünkben:
x1 = 5
x2 = (–3)


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------