2014. május 17., szombat

Diszkrimináns - megoldások száma

Mi a diszkrimináns? Mit befolyásol a diszkrimináns? Hogyan lehet megállapítani a másodfokú egyenlet valós gyökeinek a számát anélkül, hogy megoldanánk az egyenletet?

Mi a Diszkrimináns?
A diszkrimináns a másodfokú egyenlet megoldóképletében található négyzetgyökjel alatti kifejezést takarja.
Jele: D (nagy d)
Jelentése: D = b² – 4∙a∙c
Megjegyzés
A képletben használt paraméterek megegyeznek a másodfokú egyenlet általános alakjánál használatos paraméterekkel, azaz az 'a' jelöli a másodfokú tag (x²) együtthatóját, a 'b' jelöli az első fokú tag (x) együtthatóját, a 'c' pedig a konstans tagot (természetesen a nullára redukált, összevont egyenletben).


Mire van hatással a Diszkrimináns?
A diszkrimináns a másodfokú egyenlet gyökeinek a számát határozza meg a valós számok halmazán. (Ugyanis, ha az alaphalmaz a komplex számok halmaza, akkor a másodfokú egyenletnek mindig két megoldása van.)

A megoldóképlet számításakor a diszkrimináns értékétől függően tudjuk, illetve nem tudjuk elvégezni a négyzetgyökvonást.

Vizsgáljuk meg az egyes lehetséges eseteket!

1.) A négyzetgyökvonást nem tudjuk elvégezni:
Ha a négyzetgyökvonást nem tudjuk elvégezni, akkor az egyenletnek nincs megoldása, azaz a másodfokú egyenlet megoldásainak a száma: 0 (nulla).

Mikor nem tudjuk elvégezni a négyzetgyökvonást?
Akkor, amikor a négyzetgyökjel alatt negatív szám szerepel, azaz a diszkrimináns értéke negatív.

2.) Elvégezhető a négyzetgyökvonás:
Elemezzük tovább a diszkrimináns hatását a megoldások számára!
A megoldóképletben a (-b)-hez az egyik megoldás esetében hozzáadjuk, a másik megoldás esetében pedig kivonjuk a diszkrimináns négyzetgyökének értékét.
Ha ez éppen nulla, akkor a két megoldás egymással egyenlő lesz, hiszen (-b)+0 = (-b)–0. (Nyilván, ha ugyanazt a számot osztjuk a-val, akkor a hányados is meg fog egyezni.)

A négyzetgyökvonás értéke csak akkor lehet nulla, ha maga a diszkrimináns is nulla volt, ezért ebből az következik, hogyha a diszkrimináns értéke nulla, akkor a másodfokú egyenlet gyökei egymással egyenlők.

Ha a diszkrimináns négyzetgyökének az értéke pozitív, akkor azt a (-b)-hez hozzáadva, illetve abból kivonva két különböző értéket kapunk, ebből kifolyólag két különböző megoldást kapunk.

Összefoglalás
A fentiek alapján az alábbi észrevételeket tehetjük a diszkriminánsra vonatkozólag:
Alaphalmaz: valós számok halmaza;
Diszkrimináns jele: D
Jelentése: b² – 4∙a∙c
Ha D < 0, akkor a másodfokú egyenletnek nincs megoldása.
Ha D = 0, akkor a másodfokú egyenletnek 1 megoldása van.
Ha D > 0, akkor a másodfokú egyenletnek 2 megoldása van.

Diszkrimináns alkalmazása a gyakorlatban
1. feladat:
Állapítsa meg, hogy a valós számok halmazán hány megoldása van az alábbi egyenletnek, anélkül, hogy kiszámítaná azokat!
3∙x² – 5∙x + 2 = 0
Mivel ebben a nullára redukált egyenletben a tagok sorrendje megfelelő, nekiláthatunk az egyes paraméterek kigyűjtésének:
a = 3
b = (-5)
c = 2
Számítsuk ki a diszkrimináns értékét!
D = b² – 4∙a∙c = (-5)² – 4∙3∙2 = 25 – 24 = 1
Mivel a diszkrimináns értéke nagyobb, mint nulla, ezért a feladatban szereplő másodfokú egyenletnek a valós számok halmazán két megoldása van.

2. feladat:
Állapítsa meg, hogy a valós számok halmazán hány megoldása van az alábbi egyenletnek, anélkül, hogy kiszámítaná azokat!
(-2)∙x² + 3∙x – 4 = 0
Mivel ebben a nullára redukált egyenletben a tagok sorrendje megfelelő, nekiláthatunk az egyes paraméterek kigyűjtésének:
a = (-2)
b = 3
c = (-4)
Számítsuk ki a diszkrimináns értékét!
D = b² – 4∙a∙c = 3² – 4∙(-2)∙(-4) = 9 – 32 = (-23)
Mivel a diszkrimináns értéke nullánál kisebb, ezért a feladatban szereplő másodfokú egyenletnek a valós számok halmazán nincs megoldása.


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------