2013. február 2., szombat

A sokszögek csoportosítása

Az elmúlt két héten megtudhattuk, hogy milyen képletek segítségével tudjuk kiszámítani az egyes alakzatok kerületét és területét. Ez mind szép és jó, egészen addig, amíg felismerjük az egyes alakzatokat, azaz, ha biztosan tudjuk, hogy az adott alakzatnak milyen nevet adhatunk. Nézzük meg először, hogy melyik sokszögnek mi is a definíciója, majd térjünk rá a buktatókra!

Háromszög:
Olyan sokszög, melynek három oldala (és három csúcsa) van.

Négyszög:
Olyan sokszög, melynek négy oldala (és négy csúcsa) van.
A háromszögek csoportosítása – oldalak szerint
1/a.) Általános háromszög:
Olyan háromszög, melynek minden oldala különböző hosszúságú.

1/b.) Egyenlő szárú háromszög:
Olyan háromszög, melynek van két egyenlő hosszúságú oldala.

1/c.) Egyenlő oldalú háromszög / Szabályos háromszög:
Olyan háromszög, melynek minden oldala ugyanakkora.

A háromszögek csoportosítása – szögek szerint
2/a.) Hegyesszögű háromszög:
Olyan háromszög, melynek minden szöge hegyesszög.

2/b.) Derékszögű háromszög:
Olyan háromszög, melynek van derékszöge.

2/c.) Tompaszögű háromszög:
Olyan háromszög, melynek van tompaszöge.

A négyszögek csoportosítása
3/a.) Négyzet:
Olyan négyszög, melynek minden oldala és szöge egyenlő.

3/b.) Téglalap:
Olyan négyszög, melynek minden szöge derékszög.

3/c.) Rombusz:
Olyan négyszög, melynek minden oldala egyenlő.

3/d.) Paralelogramma:
Olyan négyszög, melynek szemben fekvő oldalai párhuzamosak.

3/e.) Trapéz:
Olyan négyszög, melynek van párhuzamos oldalpárja.

3/f.) Deltoid:
Olyan négyszög, melynek van szimmetriaátlója.

Buktatók – A csapda
Milyen buktatók lehetnek ezek után?
– Hiszen "csak" ezeket a szabályokat kell figyelembe venni, nem?
– De, igen. "CSAK" ezeket. :-)
Az, hogy Ön is belesétálna-e a csapdába, csak akkor derülhet ki, hogyha az alábbi két feladatot önállóan megoldja, majd az eredményét összeveti az alatta található megoldásokkal.

Lássuk tehát a feladatokat:
1. feladat: Csoportosítsa az alábbi ábrán látható háromszögeket!
(Készítse el az alatta látható táblázatot, majd írja a megfelelő vonalra
a megfelelő háromszög számát!)

1/a.) ________ 2/a.) ________
1/b.) ________ 2/b.) ________
1/c.) ________ 2/c.) ________

2. feladat: Csoportosítsa az alábbi ábrán látható négyszögeket!
(Készítse el az alatta látható táblázatot, majd írja a megfelelő vonalra
a megfelelő négyszög számát!)

3/a.) ________ 3/d.) ________
3/b.) ________ 3/e.) ________
3/c.) ________ 3/f.) ________

Buktatók – avagy a csapda elkerülése
Amennyiben sikerült kitölteni a fenti képek alatti táblázatokat, akkor jöhet az ellenőrzés.
Amikor ezeket a feladatokat a diákok házi feladatként kapják meg, akkor néhány kivétellel mindenki a következő megoldással áll elő:

1/a.) 3; 2/a.) 7;
1/b.) 1; 6; 8; 2/b.) 2;
1/c.) 5; 2/c.) 4;

3/a.) 1; 3/d.) 4;
3/b.) 2; 3/e.) 5; 8; 9;
3/c.) 3; 3/f.) 6; 7;

Amennyiben az Öné is ilyen, vagy ehhez nagyban hasonló, akkor sajnos rossz hírem van:
Ön is belesétált ebbe a csapdába.
– De, hát miért? – kérdezhetné, – Hiszen a szabályoknál látható rajzoknak megfelelően írtam be a megfelelő számokat.
– Teljesen igaza van – de csak a rajzok szerint. Amiket beírt a táblázatba, azok valószínűleg jók is, csakhogy nem teljes a megoldása, néhány kimaradt belőle.

Nézze csak meg – az egyszerűség kedvéért – pl. a trapéz definícióját!
(Olyan négyszög, melynek VAN párhuzamos oldalpárja.)
Az hányas számú négyszög(ek)re igaz?
Ha végigfut a szemével az ábrán, akkor kiderül, hogy ennek a feltételnek a 6-os és 7-es négyszögek kivételével mindegyik eleget tesz.
Azaz a 6-os és 7-es négyszögek kivételével mindegyik trapéz.

Ugye milyen kis csalafintaság? No, jöhet a második nekifutás!
Ezen ismeretek tükrében, már biztosan mindenki hibátlanul el tudja készíteni a fenti feladatokat.

Íme a feladatok jó megoldása:

1/a.) 3; 4; 7; 2/a.) 1; 3; 5; 7;
1/b.) 1; 5; 6; 8; 2/b.) 2; 6;
1/c.) 5; 2/c.) 4; 8;

3/a.) 1; 3/d.) 1; 2; 3; 4;
3/b.) 1; 2; 3/e.) 1; 2; 3; 4; 5; 8; 9;
3/c.) 1; 3; 3/f.) 1; 3; 6; 7;

Ebből a két feladatból nagyon jól megfigyelhető, hogy egy-egy négyszögnek nem csak egy nevet adhatunk. Természetesen a feladatokban, ha megadják a sokszög nevét, akkor a sokszög nevéhez szorosan kapcsolódó rajzot készítjük el, mivel így nem használunk fel speciális tulajdonságot.
(Pl. Ha a feladatban téglalapról van szó, akkor a 2-es számú alakzatot rajzoljuk, nem pedig az 1-es számút [négyzet], mivel annak van olyan speciális tulajdonsága – nem is egy –, amellyel a téglalap nem rendelkezik. A megoldás során így a szemünk téves útra vezethet, s hamis következtetést vonhatunk le.)

Hogyan kapcsolódik ez a bejegyzés a sokszögek kerületéhez, területéhez?
Itt nagyon egyszerű a válasz. Ha egy négyszögnek több – helyesen kiválasztott – nevet is adhatunk, akkor arra a négyszögre igaz lesz az összes megfelelő négyszögre használható kerület-, illetve terület-képlet.

Ha nézzük pl. a négyzetet, a táblázatunkból láthatjuk, hogy azt az összes kategóriába besoroltuk, tehát a négyzet az egyszerre lehet téglalap, rombusz, paralelogramma, trapéz és deltoid is.
Ez azt jelenti, hogy a négyzet kerületét vagy területét úgy is kiszámíthatjuk, mintha valamely más négyszög kerületét vagy területét kellene kiszámítani.
Ha a négyzetnek meg kell adnunk a területét, de az oldala helyett az átlóját adta meg a feladat, akkor használhatjuk a deltoid területképletét, hiszen abban a két átló szorzatának a feléről van szó, azaz nem szükséges az oldalak hosszúsága. Így a Pitagorasz-tétel alkalmazása nélkül jutottunk el (méghozzá nagyon gyorsan) a négyzet területéhez.

Persze a fenti gondolatok mit sem érnek, ha azokat nem gyakoroljuk.
Tehát nincs más hátra, mint feladatokat megoldani... nagyon sokat.


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------