2014. április 12., szombat

Néhány nem lineáris (alap-)függvény – abszolútérték-függvény, f(x) = |x|

Milyen az abszolútérték (alap-)függvény képe? Hogyan lehet az abszolútérték függvényt számolás nélkül ábrázolni? Hogyan lehet az abszolútérték függvényt ábrázolni a gyakorlatban?

Milyen az abszolútérték (alap-)függvény képe?
Az abszolútérték függvény, mint alapfüggvény képe: V, melynek meredeksége (-1), illetve (+1), továbbá a minimumpontja az Origóban van.
Ábrázoláskor ebből a minimumpontból szoktunk kiindulni, amiből indul egy-egy félegyenes balra (1-et balra, 1-et fel) és jobbra (1-et jobbra, 1-et fel).

Ennek alapján tehát az f(x) = |x| függvény képe:

Abszolútérték függvény ábrázolása "számolás nélkül"
Írjuk fel az abszolútérték függvényt az alábbi általános alakban, ugyanis ekkor könnyedén meg tudjuk rajzolni a függvény képét a derékszögű koordináta-rendszerben:
f(x) = |x+a| + b
Ennek eredményeként a függvény minimumpontja (az alapfüggvény minimumpontja az Origó) elmozdul a derékszögű koordináta-rendszerben, a képletben szereplő 'a' és 'b' értékétől függően, a félegyenesek meredeksége viszont nem változik.

A képletben szereplő 'a' az x-tengellyel párhuzamos mozgást jelzi. Ha az 'a' pozitív, akkor a –∞ irányába (balra), ha az 'a' értéke negatív, akkor a +∞ (jobbra) irányába kell mozdítani a minimumpontot az Origóból indulva.
Tehát az 'a' az x-tengellyel párhuzamos, DE ellentétes irányú elmozdulást jelent.

A képletben szereplő 'b' az y-tengellyel párhuzamos mozgást mutatja. Ha a 'b' pozitív, akkor a +∞ irányába (felfelé), ha a 'b' értéke negatív, akkor a –∞ (lefelé) irányába kell mozdítani a minimumpontot – folytatva az 'a'-nak megfelelő mozgást.
Tehát a 'b' az y-tengellyel párhuzamos, ÉS megegyező irányú elmozdulást jelent.

Ábrázoljuk az abszolútérték függvényt – gyakorlat
1. feladat:
Ábrázolja az f(x) = |x+3|–2 függvényt!
Ebben az esetben az alapfüggvény, (melynek alakja V, minimumpontja pedig az Origó), az x tengely mentén a –∞ irányába mozdul 3-at [a=(+3), ami az x-tengellyel ellentétes irányú mozgás, tehát a minimumpont balra mozdul 3 egységnyit]; majd ebből a pontból az y tengely mentén a –∞ irányába mozdul 2-t [b=(-2), ami az y-tengellyel megegyező irányú mozgást jelenti, tehát lefelé mozdul 2 egységnyit.]

Ennek eredményeképpen a függvény minimumpontjának koordinátája: (-3; -2) lesz, melyből indulnak a megfelelő félegyenesek (balra-fel és jobbra-fel).

2. feladat:
Ábrázolja a g(x) = |x–5|+2 függvényt!
Ebben a feladatban az alapfüggvény az x tengely mentén a +∞ irányába mozdul 5-öt [a=(–5), ami az x-tengellyel ellentétes irányú mozgás, tehát a minimumpont jobbra mozdul 5 egységnyit]; majd ebből a pontból az y tengely mentén a +∞ irányába mozdul 2-t [b=(+2), ami az y-tengellyel megegyező irányú mozgást jelenti, tehát felfelé mozdul 2 egységnyit.]

Ennek eredményeképpen a függvény minimumpontjának koordinátája: (5; 2) lesz, melyből indulnak a megfelelő félegyenesek (balra-fel és jobbra-fel).


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------