2013. november 30., szombat

Koordinátageometria – egyenes és kör helyzete

Ebből a bejegyzésből kiderül, hogy mit kell tennünk annak kiderítéséhez, hogy az egyenletével adott kör és egyenes milyen kapcsolatban vannak egymással az alábbiak közül:
 – nincs közös pontjuk,
 – az egyenes érintője a körnek, vagy pedig
 – az egyenes metszi a körvonalat.

Metszéspontok koordinátáinak kiszámítása
Az egyenesek metszéspontjainak kiszámításához az egyenesek egyenleteit, mint egyenletrendszert kell megoldani. A kapott számpár pedig megadja a két egyenes metszéspontjának koordinátáit, ha ez létezik.
(Ennek leírása a Pont-egyenes, egyenes-egyenes helyzete című bejegyzésben olvasható.)

Ez a módszer általában is alkalmazható két, egyenletével adott alakzat közös pontjainak meghatározásához, viszont fontos értelmezni a kapott eredményt.

Ez azt jelenti a mi számunkra, hogy a kör és az egyenes egyenletét, mint egyenletrendszert kell megoldanunk. A kapott eredmény pedig megadja a közös pont(ok) koordinátáit - ha ilyen közös pont valóban létezik.

1. feladat:
Mely pontokban metszi egymást az (x + 3)² + (y – 5)² = 13² egyenletű kör,
valamint a 7∙x – 17∙y = 63 egyenletű egyenes?

A feladat megoldásához, mint egyenletrendszert oldjuk meg a két egyenletet!
(x + 3)² + (y – 5)² = 13²
7∙x – 17∙y = 63
———————————
A második egyenletből az y-t kifejezve:
y = (7x – 63) / 17
A kapott kifejezést az első egyenletbe helyettesítve, majd összevonva az alábbi másodfokú egyenlethez jutunk:
338∙x² – 338∙x – 24336 = 0
Vegyük észre, hogy a 24336 osztható 338-cal, így kisebb számokhoz juthatunk anélkül, hogy a megoldást befolyásolnánk, ha az egyenlet mindkét oldalát osztjuk 338-cal:
x² – x – 72 = 0
A másodfokú egyenlet megoldóképletébe helyettesítve az a=1, b=(–1), c=(-72) értékeket, akkor az alábbi két megoldást kapjuk:
x(1) = 9; x(2) = (-8)
A kapott értékeket helyettesítsük a fenti y = ... kifejezésbe, amiből az alábbi y értékeket kapjuk:
y(1) = 0; y(2) = (-7)
Ennek alapján mondhatjuk, hogy az egyenes – két pontban – metszi a körvonalat, melyek koordinátái:
P (9; 0),
Q (-8; -7)
A fenti feladat eredményét (a szerkesztés pontosságától eltekintve) ellenőrizhetjük, ha derékszögű koordináta-rendszerben ábrázoljuk az egyes alakzatokat, majd leolvassuk a metszéspontok koordinátáit.

Ehhez készítsünk egy derékszögű koordináta-rendszert, majd ábrázoljuk a kört és az egyenest is. A kör egyenletéből leolvashatjuk, hogy a középpontjának a koordinátája: O(-3; 5), a sugara pedig 13 egység.
Rajzoljuk meg tehát körző segítségével a körvonalat!

Az egyenes ábrázolásának legegyszerűbb módja, hogy megkeressük a tengelyek metszéspontjait úgy, hogy egyszer az x helyére, majd az y helyére nullát helyettesítünk. Az így kapott pontokat [(9; 0) és (0; -63/17)] ábrázoljuk ugyanebben a koordináta-rendszerben, majd húzzuk meg az ezeken a pontokon áthaladó egyenest!

Láthatjuk, hogy az egyenes két pontban metszi a körvonalat, mely metszéspontok koordinátáit már csak le kell olvasnunk. Ebben az esetben azt kell tapasztalnunk, hogy a metszéspontok koordinátái – megközelítőleg – megegyeznek a fenti számítás során kapott eredménnyel.

Az egyenletrendszer megoldásának során kapott eredmény értelmezése
Az Eukleidészi síkban a kör és egyenes kölcsönös helyzete három féle lehet:
1: a körnek és az egyenesnek nincs közös pontja;
2: a körvonalat egy pontban érinti az egyenes;
3: a körvonalat két pontban metszi az egyenes.

Ugyanezek az esetek fordulhatnak elő – természetesen – koordinátageometria esetén is, azzal a különbséggel, hogy a fenti eseteket az egyenletrendszer megoldásából kell megállapítanunk.

Mivel az egyenletrendszer másodfokú, ezért annak három megoldása lehet (a 'D' = diszkriminánstól függően):
1: Ha 'D' < 0, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása.
2: Ha 'D' = 0, akkor az egyenletrendszernek 1 megoldása van.
3: Ha 'D' > 0, akkor az egyenletrendszernek 2 megoldása van.

Ezek után már nyilván nem okoz nagy fejtörést, hogy az egyenletrendszert megoldva melyik esethez melyik síkbeli elrendezés tartozik:
1: Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása ('D' < 0), akkor az egyenesnek és a körvonalnak nincs közös pontja.
2: Ha az egyenletrendszernek egy megoldása van ('D' = 0), akkor az egyenesnek és a körvonalnak egy közös pontja van, azaz az egyenes érinti a körvonalat, s a megoldásban kapott számpár pedig megegyezik az érintési pont x és y koordinátájával.
3: Ha az egyenletrendszernek két megoldása van ('D' > 0), akkor az egyenesnek és a körvonalnak két közös pontja van, azaz az egyenes metszi a körvonalat, a metszéspontok koordinátái pedig a megoldás során kapott összetartozó számpárok adják.


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------