2013. április 20., szombat

Számlálós-nevezős törtek 3/b. – Különböző nevezőjű törtek összeadása, kivonása

Hogyan tudunk összeadni, illetve kivonni különböző nevezőjű törteket? Milyen lépéseket kell végrehajtani? Mire ügyeljünk a feladatok megoldása során, hogy hibátlan legyen a megoldásunk? Milyen "mondókák" lehetnek a segítségünkre? Hogyan rövidíthetjük a megoldás menetét anélkül, hogy az befolyásolná a feladat végeredményét?

Mielőtt nekilátnánk a megfelelő szabályok megfogalmazásának, először álljon itt egy vicces történetnek álcázott tanmese:
– Hogyan főz teát a fizikus és a matematikus?
Fizikus: A teáskannát megtöltöm vízzel; felteszem a tűzhelyre; felforralom a vizet; beleteszem a teafűvet; ízesítem; megiszom.
Matematikus: A teáskannát megtöltöm vízzel; felteszem a tűzhelyre; felforralom a vizet; beleteszem a teafűvet; ízesítem; megiszom.

– Hogyan főznek teát, ha a teáskannában már van víz?
Fizikus: A teáskannát felteszem a tűzhelyre; felforralom a vizet; beleteszem a teafűvet; ízesítem; megiszom.
Matematikus: A teáskannából kiöntöm a vizet, majd úgy, ahogy az előbb.
Tanulság:
A matematikában sokszor fordul elő, hogy egy feladat megoldását egy korábban már megoldott feladatra vezetjük vissza, mert annak a megoldását már ismerjük. Azaz az eredeti feladatot addig-addig alakítjuk, amíg olyan nem lesz, mint egy korábbi feladat, majd a korábbi megoldás alapján ezt is megoldjuk.

Ebben az esetben is így fogunk eljárni.
Az előző bejegyzésben szerepel az azonos nevezőjű törtek összeadása, kivonása. A történetnek megfelelően, ha a feladatban szereplő törteknek különböző a nevezője, akkor alakítsuk át azokat úgy, hogy az értékük ne változzon, de a nevezők már egyenlők legyenek. Ha ezzel megvagyunk, akkor már könnyedén el tudjuk végezni a megfelelő műveleteket.

Erről jut eszembe:
Ugye Ön is megoldotta már a hétfőnként küldött gyakorló feladatokat? Ha még nem is kérte ezeket a feladatokat, akkor (ezen az oldalon, a jobb oldali sávban) csak ki kell választania, hogy a Szöveges feladatok megoldása (6 kötetes) e-book-ot, illetve az Algebra programcsomag, Normálalak című bemutató kötetét kéri hozzá ajándékba!
Ne habozzon!
Ez egy folyamatos, ingyenes gyakorlási lehetőség, ahol az ellenőrzéshez – ez is ajándék – megkapja a feladatok végeredményeit is! Minél több feladatot sikerül hibátlanul megoldania, annál jobban fog tudni teljesíteni a felmérők, vizsgák alkalmával.
Ne hagyja ki ezt a lehetőséget! Válasszon az ajándékok közül!   >>>>>

A különböző nevezőjű törtek megfelelő átalakítása
Mivel az átalakítás során a törtek értéke nem változhat, ezért a legkézenfekvőbb megoldás a törtek bővítése (ritka esetben az egyszerűsítése). Ennek megvalósításáról a számlálós-nevezős törtek egyszerűsítése, bővítése... című bejegyzésben már olvashatott.
Az ott olvasottakat most annyival egészítjük ki, hogy ezekben a feladatokban nem mindegy, hogy külön-külön mennyivel bővítjük az egyes törteket.

Nézzünk egy konkrét feladatot!
3/4 + 5/6 = ?
Látható, hogy ebben az esetben a nevezők (4 és 6) nem egyenlők, ezért ezeket a törteket ebben a formában nem tudjuk összeadni. Át kell alakítani mindkét törtet úgy, hogy a nevezők egyformák legyenek.
Mi lesz ez a bizonyos "közös nevező"?
Olyan szám, amely osztható 4-gyel és 6-tal is.
Melyik ez a szám? Ez nem más, mint a két szám legkisebb közös többszöröse.
(Ennek kiszámítását – ha szükséges, akkor – a Legkisebb Közös Többszörös kiszámítása című bejegyzésben megtalálja.)

Mivel a [4; 6] = 12 (olv.: 4 és 6 legkisebb közös többszöröse 12), ezért a közös nevező a 12 lesz. Bővítsük a törteket! Az első törtet 3-mal, míg a másodikat 2-vel kell bővíteni(!).
FONTOS! Nem szorozni, hanem bővíteni kell a törteket.
3/4 = 9/12; 5/6 = 10/12
Most már azonosak a nevezők, (sikerült visszavezetni egy korábbi feladatra,) ezért el tudjuk végezni az összeadást.
3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12
A feladatban az összeadással ugyan végeztünk, de le kell ellenőriznünk, hogy a kapott tört egyszerűsíthető-e, illetve, hogy azután át tudjuk-e írni vegyestört alakba. Ha ezzel is megvagyunk, akkor már tényleg végeztünk a feladat megoldásával.
A mi feladatunkban egyszerűsíteni ugyan nem tudjuk a törtet, mivel azonban nagyobb, mint 1 egész, ezért át tudjuk alakítani vegyestört alakba:
19/12 = 1 egész 7/12.

Tehát a feladat teljes megoldása:

Milyen "mondókát" használhatunk?
A feladatok megoldása általában könnyebb, ha az egyes lépésekhez tudunk egy-egy rövid segítséget használni. Ilyenek az általam "mondókának" nevezett mondattöredékek.
Nézzünk meg egy másik feladatot ennek bemutatására!
Mennyi az 1/2 + 2/3 – 5/8 kifejezés értéke?
Először is állapítsuk meg, hogy mi lesz a közös nevező! Ebben az esetben olyan számot kell keresnünk, mely osztható 2-vel, 3-mal és 8-cal, vagyis a 2, 3 és 8 legkisebb közös többszörösére lesz szükség.

Megjegyzés:
Közös nevezőt mindig fogunk találni, hiszen a legrosszabb esetben a nevezők szorzata osztható a nevezőkkel külön-külön is. Ebben a feladatban a 2*3*8 = 48 osztható mindhárom nevezővel. (Természetesen itt az "osztható" az úgy értendő, mint az oszthatóság témakörében, azaz az osztás végrehajtása során a hányados egész szám, a maradék pedig nulla.)

A közös nevező: 24.
Most jöhet a mondóka, minden törthöz külön:
1.) 24-ben a 2 megvan 12-szer, 1-szer 12 az 12. Azaz a bővítés után a számláló értéke 12.
2.) 24-ben a 3 megvan 8-szor, 2-szer 8 az 16. Azaz a bővítés után a számláló értéke 16.
3.) 24-ben a 8 megvan 3-szor, 5-ször 3 az 15. Azaz a bővítés után a számláló értéke 15.

Ha a fenti mondatok közben rajzoljuk is a megfelelő nyilakat és számokat, akkor még biztosabbak lehetünk abban, hogy hibátlanul végezzük el a törtek átalakítását.
(1. lépés: fekete; 2. lépés: piros; 3. lépés: kék.)
Ha már azonos a nevező, akkor pedig a számlálókkal elvégezzük a műveleteket:
12+16–15 = 13, azaz az eredmény számlálója 13, nevezője pedig 24 lesz. Mivel ezt a törtet nem tudjuk egyszerűsíteni és vegyestört alakban felírni, a végeredmény: 13/24.

Mit lehet "megspórolni" a feladatmegoldás közben?
Figyeljük meg, hogy a fenti feladatokban a közös nevező annyiszor fordul elő, amennyi törtet össze kell adni, vagy kivonni. Ezek számát csökkenthetjük, mégpedig úgy, ha a közös nevezőjű törteket 1 törtként írjuk fel, melynek a nevezője természetesen a megállapított közös nevező, a számlálója pedig egy műveletsor lesz, annyi taggal, amennyi törttel el kell végezni a műveleteket.
Nézzünk erre is egy feladatot!
2/3 + 3/4 – 1/6 + 3/8 – 2/9 = ?
Ha a korábbiak szerint járunk el, akkor a feladat megoldásának menete a következő:

Ha rövidítünk, akkor pedig az alábbiak szerint tudjuk megoldani:

(A megoldás természetesen mindkét esetben 101/72 = 1 egész 29/72 lesz.)

Számolni, (nyilakat) rajzolni ugyanannyit kell, a mondókákból sem lesz kevesebb, ellenben a nevezőt – mint látható – elég egyszer leírni az öt helyett. A két lehetőség közül természetesen mindenki a hozzá legközelebb álló módszert használja, hiszen nem mondhatjuk, hogy csak az egyik megoldás a jó.

Egy módszer a közös nevező megtalálására
A különböző nevezők közül válasszuk ki a legnagyobb nevezőt, pontosabban fogalmazva azt, amelyiknél nincs nagyobb. Ezután nézzük meg, hogy ez a nevező osztható-e az összes többi nevezővel. Ha mindegyikkel osztható, akkor máris megvan a közös nevező. Ha nem, akkor folytassuk így:
A feladatban szereplő legnagyobb nevezőnek vegyük a 2-szeresét, majd ebben is nézzük meg a többi nevezőt, hogy osztható-e velük. Ha mindegyikkel osztható, akkor ez lesz a közös nevező, ha nem, akkor vegyük a legnagyobb nevező 3-szorosát, s újra vizsgáljuk meg, hogy osztható-e a többi nevezővel.
Ha mindegyikkel osztható, akkor megtaláltuk a közös nevezőt. Ha nem, akkor a feladat nevezői közül a legnagyobbnak vegyük a 4-szeresét, 5-szörösét, 6-szorosát... és vizsgáljuk meg, hogy osztható-e a többi nevezővel, egészen addig, amíg meg nem találjuk azt a számot, melyben már az összes nevező megvan maradék nélkül.
Így is eljuthatunk a közös nevezőhöz, ráadásul sok esetben kevés számolással, tehát a feladat megoldásának idejét jelentősen csökkenti ez a módszer.

Összefoglalás
Különböző nevezőjű törtek öszeadásának és kivonásának a folyamata milyen lépésekre bontható? A fentiek alapján megállapíthatjuk a következőket:
1.) Tudatosítsuk, hogy a feladat a különböző nevezőjű törtek
     összeadása, kivonása.
2.) Állapítsuk meg a közös nevezőt!
3.) Bővítéssel alakítsuk át a törteket azonos nevezőjűekké!
4.) Végezzük el a (már azonos nevezőjű) törtek összeadását, kivonását!
5.) Állapítsuk meg, hogy lehet-e egyszerűsíteni a kapott eredményt!
6.) Fel lehet írni vegyestört alakban? Ha igen, akkor alakítsuk át!
A fenti lépések címszavakban:
1.) Különböző nevező; összeadás/kivonás?
2.) Közös nevező.
3.) Bővítés.
4.) Összeadás/kivonás.
5.) Egyszerűsítés.
6. Vegyestört alak.

--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------