2012. június 4., hétfő

Végtelen szakaszos tizedestört felírása számlálós-nevezős tört alakban

Ebben a bejegyzésben folytatom a tizedestörtek és a számlálós-nevezős törtek közötti átalakítás megvalósítását. Most a végtelen szakaszos tizedestörtnek keressük meg a számlálós-nevezős tört alakját.

Az átalakítás technikailag nem egy bonyolult dolog, vágjunk is bele a dolgok közepébe:

1. feladat:
Első feladatnak olyan számot válasszunk, amelyben a tizedesvessző után azonnal a szakasz kezdődik.
Tehát válasszunk egy végtelen szakaszos tizedestörtet, aminek szeretnénk meghatározni a (számlálós-nevezős) tört alakját!
Ez legyen:

Ennek a jelentése természetesen a 0,23232323... végtelen szakaszos tizedestört, amiben a 23 a végtelenségig ismétlődő szakasz.
A feladat tehát, hogy felírjuk x értékét, számlálós-nevezős tört alakban.

Az átalakítandó számot változtassuk meg úgy, hogy az nekünk kedvező legyen. Készítsünk belőle két olyan számot, melyeknek a tizedesvessző utáni részében csak a szakasz számjegyei szerepelnek.

1. lehetőség:
Gyakorlatilag mindkét számhoz "csak" a tizedesvesszőt kell elmozdítani a kisebb helyiértékek felé.
Mivel a tizedesvessző mögött csak a szakasz számjegyei állnak, így az egyik számnak megfelel maga az eredeti szám, a másik számhoz viszont két helyiértékkel kell mozdítani a tizedesvesszőt a kisebb helyiértékek felé.
Azaz vegyük az eredeti szám 100-szorosát, valamint önmagát, vagyis az 1-szeresét, vagyis szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát először 100-zal, majd 1-gyel.
2. lehetőség:
Ennek elkészítéséhez először állapítsuk meg a következőket:
– a szakasz jegyeinek a száma: 2;
– a tizedesvessző és szakasz közötti számjegyek száma: 0;
Számítsuk ki az eredeti szám 100-szorosát (=10^2), és az 1-szeresét (=10^0), azaz szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát először 100-zal, majd 1-gyel.
A fenti két lehetőség közül bármelyiket alkalmazva ezt kapjuk:


Ha ezek után a két egyenletet kivonjuk egymásból (felsőből az alsót), akkor pedig az alábbi eredményhez jutunk:

A kapott különbségben szereplő 23 végén álló számjegyek (a tizedesvessző után) mind nullák, hiszen helyiérték szerint egymás fölött "láthatóan" ugyanazok a számjegyek állnak. Ezeknek a különbsége pedig nulla.
Innen pedig már csak egy lépésre van szükségünk, mégpedig, hogy minkét oldalt elosszuk a 99-cel.
Ebből az adódik, hogy

Ha leellenőrizzük, akkor tényleg azt kapjuk, amit vártunk, vagyis


2. megoldás:
Most olyan számot válasszunk, amelyben a tizedesvessző után nem azonnal kezdődik a szakasz, hanem csak néhány számjegy után. Ennek az átalakítása során ugyanazt az eljárást alkalmazzuk mint az első feladatban, csak most más-más lesz a szorzók értéke.
Tehát a szám most legyen:

Azt tudjuk ebből, hogy ezúttal a 0,71686868... számnak kell meghatározni a számlálós-nevezős tört alakját.

Ugyanolyan alakra hozzuk a számot, mint az előbb, vagyis két olyan számot hozunk belőle létre, amelyekben a tizedesjegyek csak a szakaszt tartalmazzák.

A fenti módszert alkalmazva itt most az egyik szorzó az 10000 (=10^4), illetve a másik szorzó a 100 (=10^2). Szorozzuk meg mindkét oldalt először 10000-rel, majd 100-zal.

Ekkor ezt kapjuk:

Ha szintén kivonjuk a felső egyenletből az alsót, akkor a következő összefüggéshez jutunk:


A fentiekhez hasonlóan a jobb oldalon itt is véges érték szerepel, továbbá itt is mindkét oldalt elosztjuk a 9900-zal, amiből ezt kapjuk:


Ellenőrzés után pedig láthatjuk, hogy valóban:


Az 1 egésznél nagyobb törtekkel nem kell külön foglalkoznunk, hiszen azok – az előzőek után már – könnyen felírható vegyestört alakban. :-)


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------