2014. április 26., szombat

Néhány nem lineáris (alap-)függvény – négyzetgyök függvény, f(x) = √x

Milyen a négyzetgyök alapfüggvény képe? Hogyan lehet könnyedén felrajzolni a négyzetgyök függvény alapfüggvényét? Hogyan lehet ábrázolni a négyzetgyök függvényt a gyakorlatban – számolás nélkül?

Milyen a négyzetgyök alapfüggvény képe? Hogyan tudjuk könnyedén felrajzolni?
Miután már tisztában vagyunk a másodfokú függvény ábrázolásával, továbbá tud(hat)juk, hogy a másodfokú függvény inverz függvénye a négyzetgyök függvény, ezért tud(hat)juk azt is, hogy a négyzetgyök függvény képe nagyon szoros kapcsolatban van a másodfokú függvény képével.

Megjegyzés:
Egy függvény és annak inverz függvénye közötti kapcsolat vizuálisan azt jelenti, hogyha az egyik függvényt tengelyesen tükrözzük az y = x egyenletű egyenesre, akkor annak inverz függvényéhez jutunk.


Az ábrázolásban ez azt jelenti, hogy a négyzetgyök függvény megegyezik a (tükrözött) másodfokú függvény x-tengelyen, vagy az fölött található részével.
(Az x tengely alatti pontokat egyrészt a négyzetgyök definíciója miatt kell elhagynunk, hiszen a négyzetgyök fogalmában az szerepel, hogy "...jelenti azt a nem negatív [valós] számot...", másrészt pedig a függvény, mint fogalom értelmezése [egészen pontosan az egyértelmű hozzárendelés jelentése] nem teszi lehetővé azt, hogy adott x értékhez egynél több y érték tartozzon. Pl.: f(x)=√x, melyben az x=9-hez csak a (+3) tartozhat, a (-3) nem.)

Az egyes pontokat az alábbiak szerint tudjuk megrajzolni:
Induljunk az Origóból, ez lesz az első pont. A következőhöz lépjünk 1-et jobbra, 1-et fel, majd ebből a pontból 3-at jobbra, 1-et fel, majd ebből 5-öt jobbra, 1-et fel, stb.

A módszer alapján mindig páratlan számú lépést teszünk jobbra, míg felfelé csak egyet-egyet, s ezt balra, illetve lefelé nem folytatjuk.

A fentiek végrehajtása során tehát az f(x) = √x alapfüggvényének a képe:

Ábrázoljuk a négyzetgyök függvényt – gyakorlat
1. feladat:
Ábrázolja az f(x) = √(x+3)–2 függvényt!
Ebben az esetben az alapfüggvény, (melynek kiindulópontja az Origó), az x tengely mentén a –∞ irányába mozdul 3-at [a=(+3), ami az x-tengellyel ellentétes irányú mozgás, tehát a minimumpont balra mozdul 3 egységnyit]; majd ebből a pontból az y tengely mentén a –∞ irányába mozdul 2-t [b=(-2), ami az y-tengellyel megegyező irányú mozgást jelenti, tehát lefelé mozdul 2 egységnyit.]

Ennek eredményeképpen a függvény kiindulópontjának koordinátája: (-3; -2) lesz, melyből indul a megfelelő ív (a tükrözött másodfokú függvény "felső" része).

2. feladat:
Ábrázolja a g(x) = √(x–5)+2 függvényt!
Ebben a feladatban az alapfüggvény az x tengely mentén a +∞ irányába mozdul 5-öt [a=(–5), ami az x-tengellyel ellentétes irányú mozgás, tehát a minimumpont jobbra mozdul 5 egységnyit]; majd ebből a pontból az y tengely mentén a +∞ irányába mozdul 2-t [b=(+2), ami az y-tengellyel megegyező irányú mozgást jelenti, tehát felfelé mozdul 2 egységnyit.]

Ennek eredményeképpen a függvény minimumpontjának koordinátája: (5; 2) lesz, melyből indul a megfelelő ív (a tükrözött másodfokú függvény "felső" része).

Megjegyzés:
Figyeljük meg, hogy a négyzetgyök függvény értelmezési tartománya: f(x)=√x esetén x≥0, ami az utolsó feladatban ennek megfelelően: x–5≥0, amiből x≥5 lesz. Ez remek módon leolvasható a fenti [g(x)] ábráról, hiszen azokon a helyeken, ahol az x értéke kisebb, mint 5, ott nincs hozzá tartozó függvényérték.




--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése