2014. április 12., szombat

Néhány nem lineáris (alap-)függvény – abszolútérték-függvény, f(x) = |x|

Milyen az abszolútérték (alap-)függvény képe? Hogyan lehet az abszolútérték függvényt számolás nélkül ábrázolni? Hogyan lehet az abszolútérték függvényt ábrázolni a gyakorlatban?

Milyen az abszolútérték (alap-)függvény képe?
Az abszolútérték függvény, mint alapfüggvény képe: V, melynek meredeksége (-1), illetve (+1), továbbá a minimumpontja az Origóban van.
Ábrázoláskor ebből a minimumpontból szoktunk kiindulni, amiből indul egy-egy félegyenes balra (1-et balra, 1-et fel) és jobbra (1-et jobbra, 1-et fel).

Ennek alapján tehát az f(x) = |x| függvény képe:

Abszolútérték függvény ábrázolása "számolás nélkül"
Írjuk fel az abszolútérték függvényt az alábbi általános alakban, ugyanis ekkor könnyedén meg tudjuk rajzolni a függvény képét a derékszögű koordináta-rendszerben:
f(x) = |x+a| + b
Ennek eredményeként a függvény minimumpontja (az alapfüggvény minimumpontja az Origó) elmozdul a derékszögű koordináta-rendszerben, a képletben szereplő 'a' és 'b' értékétől függően, a félegyenesek meredeksége viszont nem változik.

A képletben szereplő 'a' az x-tengellyel párhuzamos mozgást jelzi. Ha az 'a' pozitív, akkor a –∞ irányába (balra), ha az 'a' értéke negatív, akkor a +∞ (jobbra) irányába kell mozdítani a minimumpontot az Origóból indulva.
Tehát az 'a' az x-tengellyel párhuzamos, DE ellentétes irányú elmozdulást jelent.

A képletben szereplő 'b' az y-tengellyel párhuzamos mozgást mutatja. Ha a 'b' pozitív, akkor a +∞ irányába (felfelé), ha a 'b' értéke negatív, akkor a –∞ (lefelé) irányába kell mozdítani a minimumpontot – folytatva az 'a'-nak megfelelő mozgást.
Tehát a 'b' az y-tengellyel párhuzamos, ÉS megegyező irányú elmozdulást jelent.

Ábrázoljuk az abszolútérték függvényt – gyakorlat
1. feladat:
Ábrázolja az f(x) = |x+3|–2 függvényt!
Ebben az esetben az alapfüggvény, (melynek alakja V, minimumpontja pedig az Origó), az x tengely mentén a –∞ irányába mozdul 3-at [a=(+3), ami az x-tengellyel ellentétes irányú mozgás, tehát a minimumpont balra mozdul 3 egységnyit]; majd ebből a pontból az y tengely mentén a –∞ irányába mozdul 2-t [b=(-2), ami az y-tengellyel megegyező irányú mozgást jelenti, tehát lefelé mozdul 2 egységnyit.]

Ennek eredményeképpen a függvény minimumpontjának koordinátája: (-3; -2) lesz, melyből indulnak a megfelelő félegyenesek (balra-fel és jobbra-fel).

2. feladat:
Ábrázolja a g(x) = |x–5|+2 függvényt!
Ebben a feladatban az alapfüggvény az x tengely mentén a +∞ irányába mozdul 5-öt [a=(–5), ami az x-tengellyel ellentétes irányú mozgás, tehát a minimumpont jobbra mozdul 5 egységnyit]; majd ebből a pontból az y tengely mentén a +∞ irányába mozdul 2-t [b=(+2), ami az y-tengellyel megegyező irányú mozgást jelenti, tehát felfelé mozdul 2 egységnyit.]

Ennek eredményeképpen a függvény minimumpontjának koordinátája: (5; 2) lesz, melyből indulnak a megfelelő félegyenesek (balra-fel és jobbra-fel).


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

2 megjegyzés:

  1. Nagyon köszönöm a segiteséget, nagyon jo az oldal, csak azt még mindig nem értem, hogy mikor már sikerült kijelölni az origot, hogy utána az orán mi ugy vettük, hogy egyet jobbra kettöt fel(v le),kettöt jobbra kettöt fel(v le) és hogy ez mitöl függ, mert itt ahogy láttam mindkét feadatban kettöt ment jobbra és kettöt fel, kettöt balra és kettöt fel.
    Ez mitöl függ, hogy hogyan épkedünk utána és hogyan folytatjuk az ábrázolás?
    Valamint, hogy akkor mi történik, ha csak az egyik szám pl az x tengelyre kerülö negativ, a másik meg pozitiv??Ebben az esetben le, vagy fel kell folytatni az ábrázolást?
    Lényegében mitöl függ, hogy ez egy V alak lesz vagy egy A?
    Elöre is köszönöm a válaszát!
    További szép napot!
    Szilvia

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Szilvia!

      Köszönöm a visszajelzését.
      A kérdésére a válasz a "Függvények transzformációja" című bejegyzésben – ennek is a 3. és 4. pontjában – olvasható:

      http://matematikasegito.blogspot.hu/2014/05/fuggvenyek-transzformacioja.html

      További sok sikert kívánok!

      Üdvözlettel
      Matematika Segítő

      Törlés