2014. február 8., szombat

Logaritmikus egyenlet megoldása – egymásba ágyazott logaritmusok

Milyenek az egymásba ágyazott logaritmusok? Milyen módszerrel tudjuk azokat megoldani? Hogyan működik ez a módszer a gyakorlatban, feladatokon keresztül bemutatva?
A mai alkalommal továbbfejlesztjük a múlt héten megtanultakat, akkor ugyanis azokkal a logaritmikus egyenletekkel foglalkoztunk, melyek megoldásához mindössze a logaritmus szabályának az ismeretére és helyes alkalmazására volt szükség.

Egymásba ágyazott logaritmusok felismerése
Az ilyen feladatokban egy logaritmus értékének kell vennünk még egyszer a logaritmusát. Természetesen ez is fokozható, hiszen a kapott értéknek újra vehetjük a logaritmusát, majd annak is és annak is,...

Ennek alapján a következő alakot veheti fel:
Ahhoz, hogy jobban lássuk, hogy "ki-kivel" van, az alábbi képletben használok zárójeleket is:
Ennek feladatnak az értelmezése a következő:
Melyik az a szám (x), aminek, véve a b alapú logaritmusát, a kapott eredménynek pedig véve az a alapú logaritmusát, akkor c-t kapunk?

Bármily elrettentőnek is látszik ez a feladat, illetve értelmezés, a megoldásukhoz újra "csak" a logaritmus szabályára vonatkozó összefüggést fogjuk felhasználni – ezúttal viszont kétszer egymás után.

Persze nem mindig ilyen "egyszerű" az egymásba ágyazott logaritmusok alakja, azaz nem csak kettő logaritmus állhat egymás mögött, hanem akár több is.
Ezt mutatja a következő alak:
Ennek értelmezése az előzőhöz hasonlóan történik, bár kicsit tovább fog tartani eljutni a jó végeredményhez:
Melyik az a szám (x), aminek véve az a(n) alapú logaritmusát, a kapott eredménynek véve az a(n-1) alapú logaritmusát, a kapott eredménynek véve az a(n-2) alapú logaritmusát, ..., a kapott eredménynek véve az a1 alapú logaritmusát, akkor b-t kapunk.

Egymásba ágyazott logaritmust tartalmazó egyenlet megoldása
Először nézzük az első típusú logaritmikus egyenletet, amelyben mindössze két logaritmus szerepel. Ekkor úgymond' "visszafelé" gondolkodva indulunk el, azaz a "külső" logaritmust fogjuk vizsgálni, majd haladunk egyre "beljebb".

Az első logaritmus-feladatra alkalmazva a logaritmus szabályát, az alábbi összefüggéshez jutunk, melynek a jobb oldalán álló hatvány értékét ki tudjuk számítani:
log b (x) = a^c
Így pedig olyan alakhoz jutottunk, amelyre már csak egyszer kell alkalmazni ugyanezt a módszert, amit az alábbi módon tudunk megtenni:
x = b^(a^c)
Mivel a jobb oldalon szereplő hatvány "betűinek" értékét ismerjük, ezért ki tudjuk számítani a hatványértéket is, ami pedig a feladat megoldását fogja jelenteni.

Természetesen itt is fontos megjegyeznem, hogy a logaritmus függvény kikötéseinek, valamint az ellenőrzés során kapott eredmény figyelembe vétele mellett szabad csak a végső következtetést levonni a feladat megoldására vonatkozólag.

Abban az esetben, ha kettőnél több logaritmus van egymás mögött, akkor ezt a módszert kitartóan, többször alkalmazva, végül eljutunk a keresett értékhez is.

Új változó bevezetése – szükséges?
A fent leírt eljárás során mondhatjuk, hogy új változót vezetünk be a "külső" logaritmus argumentumára. (Arra a részére, ami a logaritmus mögött áll.) Ezzel a felírással egyszerre mindig csak egy logaritmussal kell foglalkoznunk, igaz, hogy több ismeretlent fogunk használni a feladatban.

Ha ezzel a módszerrel gondolkodunk, akkor a fenti eljárás (két logaritmus esetén) a következőképpen alakul:

Vezessük be új változóként az y-t, melyre legyen:
y = log b (x)
Így a feladat:
log a (y) = c
Ebből a logaritmus szabályának felhasználásával:
y = a^c
Ennek az értékét ismerjük, így visszahelyettesíthetjük a változó bevezetése során felírt összefüggésbe, úgy kezelve, mintha ez már egy szám lenne:
log b (x) = y
Erre az egyenletre is alkalmazzuk a logaritmus szabályát:
x = b^y
Mivel a jobb oldalon itt is ismerjük mind a hatványalap, mind a kitevő értékét, a hatványértéket ki tudjuk számolni, ami pedig éppen a feladat megoldását fogja adni. Ennek helyességéről a kikötések figyelembe vételével, s ellenőrzéssel győződhetünk meg.

Megjegyzés:
Ha az y helyére az előtte kapott a^c hatványt helyettesítjük az x-re kapott b^y hatványban, észrevehetjük, hogy ugyanahhoz az eredményhez jutunk, mint amikor nem vezettünk be új változót.
Annak eldöntését, hogy kihez melyik módszer áll közelebb, az eljárások kipróbálása után Önöknek, saját maguknak kell megtenniük.

Egymásba ágyazott logaritmust tartalmazó egyenlet megoldása a gyakorlatban
A fenti módszert (új változó bevezetése nélkül) alkalmazzuk az alábbi egyenlet megoldására:
1. feladat:
log 2 [log 3 (x)] = 0
A logaritmus szabályának ismeretében átírhatjuk az alábbi alakra:
log 3 (x) = 2^0, azaz
log 3 (x) = 1
Erre újra alkalmazzuk a logaritmus szabályát:
x = 3^1
x = 3
Mivel a feladatba helyettesítve, s a megfelelő kikötéseket figyelembe véve nem jutunk ellentmondáshoz, felírhatjuk, hogy a feladat végeredménye: x = 3.
2. feladat:
lg {lg [lg (x)]} = 0
Itt látjuk, hogy 10-es alapú logaritmusokról van szó, tehát a "külső" logaritmusra alkalmazva a logaritmus szabályát, az alábbi összefüggéshez jutunk:
lg [lg (x)] = 10^0, azaz
lg [lg (x)] = 1
Erre felírhatjuk újra a logaritmus szabályát:
lg (x) = 10^1, azaz
lg x = 10
Végül erre az egyenletre is megismételjük az eljárást:
x = 10^10, azaz
x = 10.000.000.000
Ha a logaritmusra vonatkozó kikötéseket figyelembe vesszük, s a feladatot ellenőrizzük, akkor azt tapasztaljuk, hogy a kapott eredmény lesz a feladat végeredménye: x = 10^10.


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése