2013. november 9., szombat

Koordinátageometria – Pont-egyenes, egyenes-egyenes helyzete

Milyen helyzetben lehet egy pont és egy egyenes egymáshoz képest? Hogyan lehet ezt megállapítani a pont koordinátája és az egyenes egyenletének ismeretében? Mi a helyzet két egyenes esetében? Azok egymáshoz képest hogyan helyezkedhetnek el a síkban? Az egyenesek egyenleteinek ismeretében hogyan tudjuk megállapítani azok helyzetét?
Ebben a bejegyzésben ezekre a kérdésekre is választ kaphat...

I. Pont és egyenes kölcsönös helyzete
Ilyenkor kétféle esetet különböztetünk meg:
1.) a pont rajta van az egyenesen, illetve
2.) a pont nincs rajta az egyenesen.

Azt, hogy a pont az egyenesen, vagy azon kívül helyezkedik el, úgy tudjuk a legegyszerűbben eldönteni, ha a pont koordinátáit behelyettesítjük az egyenes egyenletébe. Ha ilyenkor azonossághoz jutunk, akkor az azt jelenti, hogy a pont rajta van az egyenesen, míg ellentmondás esetén a pont nincs rajta az egyenesen.

Nézzünk egy egyszerű feladatot!
1. feladat:
A P(2; -1) pont hol helyezkedik el az e: 2x – 3y = 7 egyenletű egyeneshez viszonyítva?
Ehhez – ahogy azt az előbb már említettem – helyettesítsük be a pont koordinátáit az egyenletbe, azaz az x helyére írjunk 2-t, az y helyére pedig (-1)-et, majd számítsuk ki a bal oldalon álló kifejezés értékét.
Ezt az alábbi módon tehetjük:
2∙2 – 3∙(-1) = 7
4 + 3 = 7
7 = 7    >>>   AZONOSSÁG
Mivel az eredmény azonosság, ezért mondhatjuk, hogy a P pont rajt van az e egyenesen.
2. feladat:
A Q(3; 2) pont hol helyezkedik el az f: x + 2y = 4 egyenletű egyeneshez viszonyítva?
Most is végezzük el a behelyettesítést:
3 + 2∙2 = 4
3 + 4 = 4
7 = 4    >>>   ELLENTMONDÁS!!!
Itt ellentmondásra jutottunk, hiszen a 7 nem egyenlő 4-gyel, tehát a Q pont nincs az f egyenesen.

II. Két egyenes kölcsönös helyzete
Ebben a bejegyzésben azokra az esetekre szorítkozunk, ahol az egyenes egy síkban vannak.
Ilyenkor az alábbi három helyzet fordulhat elő:
1.) az egyenesek egy pontban metszik egymást;
2.) az egyenesek párhuzamosak és nincs közös pontjuk;
3.) az egyenesek párhuzamosak és minden pontjuk közös, azaz azonosak.

Ahhoz, hogy beláthassuk, hogy a fenti esetek közül melyikkel állunk szemben, a két egyenletet, mint egyenletrendszert kell megoldanunk.
Amennyiben 1 megoldást kaptunk, abban az esetben a két egyenes egy pontban, mégpedig a kapott megoldás, mint koordináta által jelölt pontban metszi egymást (1.). Ha ellentmondásra jutunk, az azt jelenti, hogy az egyeneseknek nincs közös pontjuk, tehát párhuzamosak (2.). Ha pedig az egyenletrendszer megoldása során azonossághoz jutunk, akkor az egyenesek minden pontjukban fedik egymást, azaz azonosak (3.).

Erre is nézzünk feladatot!
3. feladat:
Állapítsa meg az e: 2x – 3y = 7 és f: x + 2y = 4 egyenletű egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetét!
Ennek eldöntésére, mint egyenletrendszert kell megoldanunk a két egyenes egyenletét:
2x – 3y = 7
  x + 2y = 4
——————
A helyettesítéses módszert választva, a második egyenletből fejezzük ki az x-et így azt kapjuk, hogy:
x = 4 – 2y
A kapott kifejezést írjuk be az első egyenletben található x helyére, majd oldjuk meg az egyenletet:
2∙(4 – 2y) – 3y = 7
8 – 4y – 3y = 7
8 – 7y = 7
–7y = –1
y = 1/7
Az y értékét már ismerjük, számítsuk ki a hozzá tartozó x értékét is, az előbbi egyenlet segítségével:
x = 4 – 2y = 4 – 2∙(1/7) = 28/7 – 2/7 = 26/7
x = 26/7
A kapott eredmények azt jelzik, hogy a két egyenes metszi egymást, mégpedig 1 pontban, melynek a koordinátája M(26/7; 1/7).
4. feladat:
Állapítsa meg, hogy az e: 2x + 5y = 3 és az f: 4x + 10y = 5 egyenletű egyenesek milyen helyzetben vannak egymáshoz viszonyítva!
Látva az együtthatók közötti szoros kapcsolatot, ebben az esetben az egyenlő együtthatók módszerével oldjuk meg az egyenletrendszert, miszerint az első egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg 2-vel:
2x +   5y = 3       /∙2
4x + 10y = 5
——————
4x + 10y = 6
4x + 10y = 5
——————
Most az 1. egyenletből vonjuk ki a 2. egyenletet!
0 + 0 = 1, azaz
      0 = 1    >>>   ELLENTMONDÁS
Mivel a kapott eredmény ellentmondás (a nulla nem egyenlő 1-gyel), ezért a két egyenes párhuzamos. Sőt, azt is kijelenthetjük, hogy nem azonosak, hiszen nincs közös pontjuk.

A következő feladat arra mutat példát, hogy milyen eredményt kapunk, ha a két egyenes azon túl, hogy párhuzamos, azonos is.
5. feladat:
Állapítsa meg a következő egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetét,
ha az egyenleteik: e: 3x – 2y = 1; f: –9x + 6y = –3.
Most is oldjuk meg az egyenleteket, mint egyenletrendszert, az imént alkalmazott egyenlő együtthatók módszerével, melynek során az első egyenletet szorozzuk meg 3-mal:
  3x – 2y =   1     /∙3
–9x + 6y = –3
——————
  9x – 6y =   3
–9x + 6y = –3
——————
Most adjuk össze a kapott egyenleteket!
0 + 0 = 0, azaz
      0 = 0    >>>   AZONOSSÁG
Mivel ezúttal azonosságot kaptunk, ez azt jelenti, hogy amelyik pont rajt van az egyik egyenesen, az rajt van a másik egyenesen is, tehát az egyenesek illeszkednek egymásra.


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése