2013. november 17., vasárnap

Koordinátageometria – osztópont kiszámítása, háromszög súlypontja

A mai bejegyzésben arra kaphat választ, hogy hogyan tudja kiszámítani annak a pontnak a koordinátáját, mely egy adott szakaszt, adott arányban oszt. Megtudhatja, hogy ezt miként tudjuk felhasználni szakasz felezőpontjának kiszámításában, továbbá arra is fény derül, hogy miként lehet meghatározni a háromszög súlypontjának a koordinátáját...

Szakasz osztópontjának koordinátája
A feladat ilyenkor az, hogy adott egy szakasz a két végpontjának a koordinátáival, s keressük meg ezen az AB szakaszon azt a P pontot, mely az AB szakaszt adott (m : n) arányban osztja.

Ehhez tehát ismerjük az A pont koordinátáit (a1, a2), a B pont koordinátáit (b1, b2), valamint az m és n értékét is.
Ezekből az adatokból kell meghatároznunk a P ont (x, y) koordinátáját.

Ebben az esetben az alábbi képlettel tudunk eljutni a hiányzó koordinátákhoz:
x = (n ∙ a1 + m ∙ b1) / (m + n), illetve
y = (n ∙ a2 + m ∙ b2) / (m + n).
Megjegyzés:
A fenti képlet abban az esetben használható, ha az AP : PB = m : n arány az ismert. Ha az AP : AB = s : t arányt ismerjük, akkor ezekből az adatokból fel kell írnunk a képletnek megfelelő m és n értékét: az alábbiak szerint:
m = s
n = t – s
Így már használhatjuk a fenti képletet.
1. feladat:
Adott a derékszögű koordináta-rendszerben az A(-4; 3) és a B(5; 7) pont. Számítsa ki annak a P pontnak a koordinátáit, mely az AB szakaszt 2 : 3 arányban osztja!
Gyűjtsük ki a fenti képletben használható adatokat:
a1 = -4; a2 = 3; b1 = 5; b2 = 7; m = 2; n = 3;

Helyettesítsünk be a megfelelő képletekbe:
x = (n ∙ a1 + m ∙ b1) / (m + n) = [3 ∙ (-4) + 2 ∙ 5] / (2 + 3) = [(-12) + 10] / 5 = -2 / 5
y = (n ∙ a2 + m ∙ b2) / (m + n) = (3 ∙ 3 + 2 ∙ 7) / (2 + 3) = (9 + 14) / 5 = 23 / 5
Ennek alapján a megfelelő P pont koordinátái:
P (-2/5; 23/5).

Szakasz felezőpontjának kiszámítása
Az előbbi képletet fogjuk felhasználni, ugyanis most annak az F pontnak keressük a koordinátáit, melyre igaz, hogy AF : FB = 1 : 1.
Ha a fenti képletbe az m és n helyére is 1-et helyettesítünk, akkor azt kapjuk, hogy:
x = (a1 + b1) / 2, illetve
y = (a2 + b2) / 2.
Nézzünk erre is egy feladatot:
2. feladat:
Az 1. feladatban szereplő AB szakasznak határozza meg az F felezéspontját!
Az adatok kigyűjtése után helyettesítsünk a felezőpont számításához tartozó képletbe:
x = (a1 + b1) / 2 = [(-4) + 5] / 2 = 1/2
y = (a2 + b2) / 2 = (3 + 7) / 2 = 10/2 = 5
Ez azt jelenti, hogy az AB szakasz felezőpontjának koordinátája:
F (1/2; 5).

Számítsuk ki a háromszög súlypontjának koordinátáját!
Tegyük fel, hogy ismerjük a háromszög mindhárom csúcsának a koordinátáját, melyek rendre:
A (a1; a2); B (b1; b2); C (c1; c2).

Ekkor az S súlypont koordinátái a következő képletekkel határozható meg:
x = (a1 + b1 + c1) / 3
y = (a2 + b2 + c2) / 3
Számítsuk ki egy háromszög súlypontjának a koordinátáját!
3. feladat:
Adott a derékszögű koordináta-rendszerben az A(-8; -7), B(4; -5), C(1;6) pont.
Számítsa ki az ABC háromszög S súlypontjának koordinátáit!
Mivel szerencsére ismerjük a háromszög csúcsainak koordinátáit, ezért mindössze a fenti képletbe kell behelyettesítenünk a megfelelő értékeket:
x = (a1 + b1 + c1) / 3 = (-8 + 4 + 1) / 3 = -3 / 3 = -1
y = (a2 + b2 + c2) / 3 = (-7 + (-5) + 6) / 3 = -6 / 3 = -2
Ez pedig azt jelenti, hogy a háromszög súlypontja:
S ( -1; -2).

(Természetesen – pontos – szerkesztéssel ellenőrizhető!)


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

3 megjegyzés:

  1. Köszi.Nagyon jo leiras! Csak 1 hiba.3.feladatban c2=9 amikor mar szamoltal akkor 6-ot írtál.Igy valtozik az eredmeny is!üdv

    VálaszTörlés