2013. szeptember 14., szombat

Azonosságok használata, alkalmazása

Ebben a bejegyzésben arról lesz szó, hogy mi is az az azonosság, milyen problémák miatt véthetünk hibát, hogyan lehet az azonosságokat használni, illetve mire kell ügyelni a használatuk során.

Mi az azonosság?
Olyan egyenlet, melyben a betűket tetszőleges kifejezéssel helyettesítve, mindig igaz állításhoz jutunk. (Természetesen ugyanannak a betűnek a helyére ugyanazt a kifejezést írva!)
Pl.: (a + b)² = a² + 2∙a∙b + b²
Ebben az azonosságban tehát az 'a' és a 'b' helyére is választhatunk egy-egy tetszőleges kifejezést, amire kicserélhetjük a megfelelő betűket. Azaz az azonosságban szereplő minden 'a' helyére pontoson ugyanazt a kifejezést írjuk, illetve az azonosságban szereblő 'b' helyére is pontosan ugyanazt a kifejezést írjuk.
Ehhez máris nézzünk egy feladatot. Itt az 'a' helyére írjunk '3x'-et, a 'b' helyére pedig írjunk '5'-öt. A helyettesítés azt jelenti, hogy az azonosságban az összes 'a' helyére majd '3x'-et írunk, illetve az azonosságban szereplő összes 'b' helyére '5'-öt írunk:
(3x + 5)² = (3x)² + 2∙(3x)∙5 + 5²
FONTOS!
Megfigyelhető, hogy az 'a' helyére került kifejezést zárójelbe tettük, míg a 'b' helyére írt kifejezést nem. Ennek az az oka, hogy az 'a' helyére egy két tényezős, míg a 'b' helyére egy tényezős kifejezést kellett helyettesíteni.

Mi okozza/okozhatja a problémát az azonosságok használatakor?
1.) A legtöbb esetben a legnagyobb probléma az, hogy nem ismerjük fel, hogy az adott feladatban éppen egy azonosságot kellene alkalmaznunk.
2.) Ha felismerjük, hogy azonosságot kell alkalmazni, akkor nehezen, vagy egyáltalán nem tudjuk eldönteni, hogy melyikre van szükség a sok közül.
3.) Ha tudjuk, hogy pontosan melyik azonosságot kell alkamazni, akkor a behelyettesítéssel adódnak a problémák.

Megoldások:
1.) Tanulmányozzuk, használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatban található összefüggéseket. A középiskolai évek alatt sokakban felmerül a kérdés, hogy miért is kellett megvenni iskolakezdéskor azt a bizonyos függvénytáblázatot (teljes neve: Négyjegyű függvénytáblázatok, Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések), hiszen az évek alatt egyszer sem használtuk... :-(

Azt hiszem, hogy ide vezethető vissza, hogyha az érettségi írásakor nem találjuk meg a szükséges összefüggést ebben a nagyon hasznos könyvben. Abban az esetben, ha már az első évtől kezdve rendszeresen használjuk, akkor az idők folyamán megjegyezzük, hogy milyen témakör hol található a függvénytáblázatban, sőt, sok esetben ilyenkor még az oldalszámokat is tudjuk fejből.

Mindezek mellett még azt is memorizáljuk, hogy milyen összefüggéseket, azonosságokat lehet használni az egyes feladatok megoldásánál.

2.) Ha esetleg rájövünk, hogy itt valamilyen azonosságot kell használni, sőt még a függvénytáblázatban is megtaláljuk a témakört, akkor az ott látható azonosságok közül azt kell választani, aminek az alakja megegyezik az adott feladat alakjával.
Ilyenkor az szokta okozni a problémát, hogy megfeledkezünk arról, hogy az azonosságok mindkét irányban igazak. Ugyanis, ha a bal oldal egyenlő a jobb oldallal, akkor a jobb oldal is egyenlő a bal oldallal. Tehát az azonosságoknak nem csak a bal oldalát kell vizsgálni, hanem a jobb oldalt is, hiszen ez azt jelenti, hogy azt nem balról jobbra, hanem jobbról balra tudjuk alkalmazni.

3.) A behelyettesítéskor célszerű külön (pl.: a lap jobb oldalán) leírni (legalábbis addig, amíg nem vagyunk biztosak magunkban), hogy az egyes betűk helyére milyen kifejezést kell írni, majd behelyettesítéskor minden egyes betű esetében pillantsunk a lap szélére, hogy az helyett a betű helyett pontosan mit is kell írnunk.
Ügyeljünk arra, hogyha a kifejezés több tényezős, akkor lehet, hogy zárójelek közé kell azt tennünk.

Hogyan lehet használni az azonosságokat?
Ehhez nézzünk egy nem túl nehéz minta-feladatot:
(A ^ [ejtsd: kalap] a hatványt jelöli, azaz 2^3 jelentése: kettő a harmadikon.)
1. feladat:
3^5 ∙ 3^7 = ?
Először ismerjük fel a témakört: Hatványozás.

Másodszor keressük meg a négyjegyű függvénytáblázatban a hatványozás témakörénél található azonosságokat.

Mivel itt sok összefüggést láthatunk, keressük meg azt, amelyik a leginkább hasonlít a feladatban szereplőre. Ennek az egyik módja, hogy a feladatban látható kifejezéseket (most számokat) betűkkel helyettesítjük, ügyelve arra, hogy ugyanazt a számot ugyanazzal a betűvel jelöljük.
Érdemes figyelni arra is, hogy a könyvben található összefüggésekben a hatványalapok 'a', 'b', 'c' betűkkel, míg a kitevők 'j', 'k', 'l', 'n' vagy 'm' betűkkel vannak jelölve.

Az aktuális feladat ennek megfelelően átírva:
a^n ∙ a^m = ?
Találunk-e olyan összefüggést, amely a fenti jelöléseket tartalmazza?
Természetesen igen, mégpedig:
a^n ∙ a^m = a^(n+m)
Remek! Már meg is találtuk a megfelelő azonosságot.
Most gyűjtsük ki oldalt, hogy melyik betűnek milyen kifejezés felel meg:
a = 3
n = 5
m = 7
Helyettesítsük be ezeket a számokat az azonosságban szereplő betűk helyére:
3^5 ∙ 3^7 = 3^(5+7)
Ezek után alakíthatjuk tovább a kapott kifejezést, némely esetben további azonosságokat keresve és alkalmazva, most azonban egyszerű számítást kell elvégeznünk: számítsuk ki a kitevőben szereplő összeadást:
3^(5+7) = 3^12
Mivel ezt már nem tudjuk tovább alakítani (legfeljebb ki tudjuk számítani a hatványértéket), ezért végeztünk is a feladat megoldásával.

A megoldás tehát:
3^5 ∙ 3^7 = 3^12

Frissítve: Gyakorláshoz elérhető az ALGEBRA következő kötete:
Hatványozás, a hatványozás azonosságai;
Számok négyzete, négyzetgyöke keresése táblázatból

Nézzünk meg egy kicsit nehezebb feladatot:
2. feladat:
x² – 4∙x + 4 = ?
Itt is kezdjük először a témakör meghatározásával: Nevezetes szorzatok

Az előzőhöz hasonlóan keressük meg a négyjegyű függvénytáblázatban az ehhez a témakörhöz tartozó összefüggéseket.

Az itt található képletek között hogyan találhatjuk meg a számunkra megfelelőt?

Vizsgáljuk meg a feladatot!

Vegyük észre, hogy a 4 = 2^2; s ezt felhasználva olyan három tagú kifejezést láthatunk, melynek az első és harmadik tagja valami a négyzeten, a második tag pedig negatív kifejezés. (Eltekinthetünk attól, hogy osztható 2-vel.)
Átalakítva tehát ilyen 'alakú' kifejezést kell keresnünk:
a² – b + c²
Ilyen azonosság sajnos nincs a függvénytáblázatban, de van egy ehhez hasonló, mégpedig:
a² – 2ab + b²
Ahhoz, hogy el tudjuk dönteni, hogy a mi feladatunkban ezt az azonosságot tudjuk-e használni, meg kell határozni az 'a' és a 'b' értékét, majd behelyettesíteni, végül pedig összehasonlítani a kapott eredményeket. Ha egyeznek, akkor ez a megfelelő azonosság, ha nem, akkor tovább kell keresgélni.
Az első tagból láthatjuk, hogy az 'a' helyére írhatjuk az 'x'-et, a harmadikból pedig, hogy a 'b' helyére a 2-t.

Ellenőrizzük!
Azaz helyettesítsük be, majd számítsuk is ki!
a² – 2ab + b² = x² – 2∙x∙2 + 2² = x² – 4∙x + 4
Mivel a végeredmény megegyezik a mi feladatunkkal, ezért megtaláltuk a megfelelő azonosságot. Ellenkező esetben vagy meg kell változtatnunk az 'a' és 'b' helyére írt kifejezéseket, vagy más azonosságot kell keresnünk.

Fontos megjegyzés:
Természetesen nem kerül sok időbe megtalálni a megfelelő azonosságot, de ahhoz már bizonyára Ön is tudja, hogy sok gyakorlás szükséges.
– A feladatokon keresztül látni kell, hogy melyik azonosság hogyan 'alakul át' egy-egy behelyettesítés alkalmával.
– Tudnunk kell, hogy a függvénytáblában hol találhatók az egyes összefüggések, hogy amikor 'élesben' szükség van azokra, akkor már ne azzal teljen az értékes idő, hogy a tartalomjegyzéket kutatjuk egy témakörhöz, hanem egyenesen odalapozunk, mert már olyan sokszor használtuk azokat.
– Automatikusnak kell lennie annak, hogy a függvénytáblázatban található azonosságoknak nem csak az egyik oldalát, hanem mindkettőt kell figyelnünk.

Folytassuk a feladat megoldását!

Már megtaláltuk a megfelelő azonosságot, sőt a fentiek következményeként már ismerjük az 'a' és a 'b' helyére írandó kifejezéseket is. Nincs más hátra, mint az azonosság másik oldalán látható kifejezés helyére is behelyettesítjük azokat.

A fenti azonosság mivel egyenlő?
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Helyettesítsük be tehát a bal oldalon álló kifejezésbe is:
(a – b)² = (x – 2)²
S így végeztünk is az átalakítással.

A megoldás tehát:
x² – 4∙x + 4 = (x – 2)²

Az azonosságok biztonságos használatához nem elég, hogyha az érettségi vizsga előtt egyszer-kétszer átlapozzuk a négyjegyű függvénytáblázatunkat. Ennyi idő alatt ugyanis nem tud rögzülni, hogy hol találjuk meg az egyes témakörökhöz tartozó azonosságokat, sok esetben még azt sem tudjuk megjegyezni, hogy milyen sorrendben követik egymást az egyes témakörök.

Végül: Melyik függvénytáblázatot használjam?
Erre a kérdésre a rövid válaszom a következő:
Azt, amelyiket a legjobban ismeri, a legtöbbet használta.

--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése