2013. április 7., vasárnap

Számlálós-nevezős törtek 2. – Egyszerűsítés, bővítés, vegyestört, reciprok érték

Ebben a bejegyzésben olyan fontos műveletekről lesz szó, melyekben mindössze egy darab törtre van szükség az adott művelet elvégzéséhez. Ilyen műveletek a törtek egyszerűsítése, bővítésevegyestört alakja valamint a törtek reciprok értéke.

Számlálós-nevezős tört EGYSZERŰSÍTÉSE
Egyszerűsítés: A számlálót (is) és a nevezőt (is) elosztjuk ugyanazzal a (nullától különböző) számmal. (Ekkor a tört értéke nem változik.)
Az előző bejegyzésben (Ismerkedés a számlálós-nevezős törtekkel) már megismertük, hogy hogyan nevezzük a tört egyes részeit, ezért – elvileg – nem okoz problémát a fenti szabály alkalmazása.
Mégis mi okozza/okozhatja akkor a problémát?
Én azt gondolom, hogy ennek oka az lehet, hogy:
– nem tudjuk, hogy mikor kell alkalmazni,
– nem tudjuk pontosan a szabályt,
– nem vagyunk tisztában az elnevezésekkel,
– nem "értjük" a szabály lépéseit.

A legnehezebb talán az, hogy felismerjük, hogy egyáltalán mi a probléma tényleges oka. Hogyan lehet felismerni és mi a megoldás?

Mikor kell alkalmazni?
Általában a törtes feladatok utolsó előtti lépése. Elvégezzük a törtműveleteket, majd az eredményt egyszerűsítjük, ha lehet. (Ezt követi általában a vegyestört alakba való átalakítás.) Itt az egyszerűsítésnek az a célja, hogy a törtet a lehető legkisebb számokkal írjuk le. Pl.: Ha egy műveletsor eredménye 24/48, akkor abból az egyszerűsítés végén 1/2 lesz, ami valóban "egyszerűbb" alakja ugyanannak a törtnek.

Mit tegyünk, ha nem tudjuk pontosan a szabályt?
Erre csakis egy megoldást ismerek: le kell ülni, és megtanulni az egyszerűsítés szabályát. Első lépésben ezek a szabályok, mint egy-egy vers kerülnek feldolgozásra, de minél többet gyakoroljuk, annál inkább kerül át a vers kategóriából a matematika egy egyszerűen alkalmazható szabályává.

Mit jelentenek az egyes elnevezések?
A megoldás az előző, Ismerkedés a számlálós-nevezős törtekkel című bejegyzésben olvasható, azonban nagy segítség lehet, ha ezeket a típusú törteket nem egyszerűen "tört"-nek, hanem teljes nevén, "számlálós-nevezős tört"-nek hívjuk. Ebből azonnal adódik, hogyha kiejtjük egy tört nevét, akkor az elsőként kimondott szám a számláló, s a második pedig a nevező.

Hogyan lehet értelmezni a szabályt?
Ennek a kérdésnek a megválaszolásához elemezzük egy kicsit az egyszerűsítés szabályát, hogy azt milyen kis lépésekre bonthatjuk.
Mivel a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal kell osztanunk, ezért első lépésként meg kell keresnünk azt a számot, amivel a számláló és a nevező is osztható. (Ennek meghatározásához keressük meg a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját. Erről a módszerről A legnagyobb közös osztó kiszámítása című bejegyzésben olvashat.) Ha már megtaláltuk ezt az osztót, akkor elvégezzük az osztásokat egyenként.
Tehát a lépések:
1. közös osztó megkeresése; (számláló és nevező legnagyobb közös osztója)
2. osztjuk a számlálót a közös osztóval (ez lesz az új számláló);
3. osztjuk a nevezőt a közös osztóval (ez lesz az új nevező).
Megjegyzés:
A szabály nem szól arról, hogy a számláló, a nevező, valamint az a bizonyos "ugyanaz a szám" melyik számhalmaznak az eleme, ezért tetszőleges valós számok esetében is használható ez a megoldás. Általában azonban ezek a műveletek a természetes számok (N) halmazára szorítkoznak, így valóban tudjuk alkalmazni a LNKO szabályát.


Számlálós-nevezős tört BŐVÍTÉSE
Bővítés: A számlálót (is) és a nevezőt (is) megszorozzuk ugyanazzal a (nullától különböző) számmal. (Ekkor a tört értéke nem változik.)
Mint látható, az egyszerűsítéstől csak egy kicsit tér el a bővítés szabálya, s a fentiek közül – az alkalmazástól eltekintve – minden érvényes ebben az esetben is, azzal a feltétellel, hogy az egyszerűsítésnél olvasható "osztás" szót a "szorzás"-sal helyettesítjük.

Mikor alkalmazzuk a bővítést?
Erre akkor van szükség (általában), amikor különböző nevezőjű törteket kell összeadni, illetve kivonni, ugyanis ezen műveletek elvégzéséhez a nevezőknek egyformának kell lennie.
Ekkor bővítjük a feladatban szereplő törteket addig, amíg meg nem találjuk azt az alakjukat, amelyikben már mindnek azonos a nevezője.

Pl.: Hogyan tudjuk összeadni az 1/2 és a 2/3 törteket?
1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = ...
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = ...
stb.
Ezen bővítések segítségével a feladat így módosul: 3/6 + 4/6, s a műveletet így már könnyedén el tudjuk végezni.

Megjegyzés:
Megfigyelhető, hogy a fenti két példában a sorok első törtjei nem egyszerűsíthetők, továbbá, hogy az utánuk következő törteket úgy kaptuk, hogy az első (nem az előtte álló) tört számlálóját és nevezőjét szoroztuk meg 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel.


A bővítés elvégzésénél használható lépések:
1. állapítsuk meg, hogy mennyivel kell bővíteni a törteket;
2. szorozzuk a számlálót az első lépésben megállapított számmal (ez lesz az új számláló);
3. szorozzuk a nevezőt az első lépésben megállapított számmal (ez lesz az új nevező).

FONTOS technikai segítség!
Mind az egyszerűsítésnél, mint a bővítésnél alkalmazható a nyilakkal való jelölés. Azaz jelöljük nyilakkal, hogy mi történik az egyes számlálóval, illetve nevezővel! Annak ellenére, hogy ez egy nagyon könnyen alkalmazható, hatékony segítség, sokan nem használják, mert azt gondolják, hogy "ciki". Csakhogy ezt nem kell az idők végezetéig használni, elég addig, amíg már rutinszerűvé nem válik mind az egyszerűsítés, mind a bővítés elvégzése. (Természetesen, ha ezután is használja valaki, az sem probléma, sőt, Ő még kisebb esélyt ad egy-egy feladat hibás megoldására.)

Számlálós-nevezős tört VEGYESTÖRT ALAKJA
Mi is az a vegyestört? Miért ez a neve?
A vegyestört gyakorlatilag egy összegalak, ahol az első tag egy egész szám, a második tag pedig egy számlálós-nevezős tört. Így eben az alakban szerepel (vegyesen) egész szám és számlálós-nevezős tört is.

Hogyan tudjuk felírni a vegyestört alakot?
Nézzünk erre két módszert, s mindkét esetben tegyük fel, hogy a tört értéke nagyobb, mint 1 egész!

1. módszer:
Pl.: Mennyi a 21/8 vegyestört alakja?
Képzeljük el a feladatot tortával. Azaz kell egy torta, amit felosztunk 8 egyenlő szeletre, majd ezekből a szeletekből 21-et megeszünk. Ez hogyan lehetséges? Természetesen csak úgy, hogy több ugyanilyen tortára van szükség, hiszen 1 egész tortában mindössze 8 egyforma szelet van. Mennyi tortára van szükség? Annyira, amennyiből "kijön" – jelen esetben – a 21 szelet. Vagyis 1 tortából 8, 2 tortából már 16, 3 tortából 24, stb. Látható, hogy 3 egész torta már elegendő a 21 szelethez.
Nézzük meg újra a kezdeti gondolatsort: Van 3 egész tortánk, s mindegyiket osszuk fel 8-8 egyenlő szeletre, majd együnk meg belőle 21 szeletet. Ekkor azt tapasztaljuk, hogy a három tortából megeszünk 2 egészet (16 szelet), meg még a harmadikból 5 szeletet (16+5=21), azaz a 21/8 vegyestört alakja 2 egész 5/8.

2. módszer:
Itt a törtvonalnak lesz fontos szerepe, illetve a jelentésének. Mint tudjuk, a törtvonal egyben osztást is jelent, tehát a számlálós-nevezős törtnél: a számlálót elosztjuk a nevezővel. Mivel a legtöbb esetben ez az osztás "maradékos", azaz az osztást (a tizedesvesszőig) elvégezve a maradék nem nulla, ezért keletkezik egy egész és egy törtrész – vegyesen.
Végül mi, hova kerül a vegyestörtben? A hányados lesz az egész rész, a maradék lesz a törtrész számlálója, az osztó pedig a törtrész nevezője. Pl.: 25/3 = 25:3 = 8 (maradék: 1), tehát a 25/3 vegyestört alakja: 8 egész 1/3.

Hol használjuk?
A törtes feladatok megoldásának utolsó lépése, amikor már egyszerűsítettük a törtet, (ha lehetett,) és a tört értéke (abszolútértékben) nagyobb, mint egy egész.
Ha a tört értéke (abszolútértékben) kisebb 1 egésznél, akkor nem írjuk fel vegyestört alakban, hiszen akkor az "csak" bonyolítaná a már megkapott törtet. Pl.: 3/4 vegyestört alakja: 0 egész 3/4; ellenben a 13/4 vegyestört alakja: 3 egész 1/4.

Számlálós-nevezős tört RECIPROK ÉRTÉKE
Reciprok érték: Egy számnak és reciprok értékének a szorzata 1.
Tehát egy számnak (nem feltétlen törtnek) a reciprok értékét, ha megszorozzuk az eredeti számmal, akkor a szorzat éppen 1 egész lesz. (Ebből a meghatározásból látható, hogy a nullának nincs reciprok értéke, hiszen a nullát bármely számmal szorozva, az eredmény mindig nulla.)

Hogyan lehet könnyen meghatározni a számok reciprok értékét?
Ha az eredeti számot tört alakban írjuk fel, akkor – vizuálisan – annyi történik, hogy a számláló és a nevező helyet cserél, azaz pl. a 3/5 reciprok értéke 5/3. Ellenőrzésképp végezzük el a szorzást: 3/5 * 5/3 = 15/15 = 1 egész, azaz valóban működik ez az eljárás.

Mi a helyzet akkor, ha az eredeti szám alakja nem számlálós-nevezős tört? Írjuk fel tört alakban! Ez sem nehéz, hiszen csak annyit kell tennünk, hogy az egész számot írjuk a számláló helyére, a nevező helyére pedig 1 kerül. Pl.: 3 = 3/1; 8 = 8/1; stb.
Ami ezek reciprok értékét illeti:
3 reciprok értéke = 1/3; 8 reciprok értéke = 1/8.


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése