2013. február 23., szombat

Hasáb, henger, gúla, kúp térfogata

Mit értünk a testek térfogata alatt? Milyen összefüggéseket kell felismerni ahhoz, hogy a legkevesebb képletet kelljen hozzá megtanulni? Többek között ezekre a kérdésekre is választ kap ebből a bejegyzésből.

Mi a test térfogata?
Térfogat: Az egységkockával való összehasonlítás, mely két részből áll: a mérőszámból és mértékegységből. Az utóbbi jelöli, hogy mekkora az egységkocka, a mérőszám pedig azt mutatja meg, hogy mennyi egységkockára van szükség a test teljes megtöltéséhez.
Jele: V
Ehhez nagyon hasonló definícióval találkozhatott már a síkidomok területének tárgyalásánál. Ebben az esetben is arról van szó, hogy megpróbáljuk kitölteni az adott test "belsejét" egységkockákkal. Azt, hogy mekkora egy-egy ilyen egységkocka, azt a mértékegységből tudjuk megállapítani, azt, hogy abból mennyire van szükség a test megtöltéséhez, azt pedig a mérőszám mutatja meg.

Mi az egységkocka?
Mit jelent az, hogy a mértékegységből tudjuk megállapítani az egységkocka méretét? Azt, hogyha a mértékegység  cm³, akkor az azt jelenti, hogy akkora kockával töltjük ki a testet, melynek minden éle 1 cm. Ha a mértékegység m³, akkor olyan kockával töltjük fel a testet, melynek minden éle 1 m.
Ha ehhez hozzávesszük a mérőszámot, akkor már egyértelműen meg tudjuk mondani, hogy mekkora testről van szó, hiszen ismerjük az egységkockát, valamint azok számát.

A térfogat mértékegységei
Mivel az egységkockák számáról és méretéről van szó, ezért a térfogatnál használatos mértékegységek megegyeznek a térfogat-mértékegységekkel.
Azt, hogy milyen mértékegységeket használunk a térfogat mérésére, egy korábbi bejegyzés (Mértékegységek, mértékegységek átváltása – alapok) már tárgyalja, sőt szintén egy külön bejegyzést találhat arról, hogy miképpen tudunk átváltani az egyes mértékegységek között (Mértékegységek átváltása a gyakorlatban), ezért ezekről most itt külön nem lesz szó.

Ha egy-egy feladatban a test űrtartalma a kérdés, akkor is először a test térfogatát számítjuk, majd a kapott eredményt átalakítjuk a megfelelő mértékegységbe. Ennek módjáról szintén olvashat a korábbi (Mértékegységek, mértékegységek átváltása – alapok) bejegyzésben.

Ahogy azt már a síkidomok területe bejegyzésben is megjegyeztem, most is felhívom a figyelmet arra, hogy a  feladatok megoldása előtt célszerű azonos (megfelelő) mértékegységekre átváltani a feladatban szereplő értékeket, azaz, ha hosszúságról, területről vagy térfogatról beszélünk, akkor minden mértékegység ugyanazzal a hosszúság-, terület- vagy térfogat-mértékegységgel legyen jelölve. Abban az esetben, ha az adatok között szerepel hosszúság, terület vagy térfogat vegyesen, akkor azokat a megfelelő mértékegységre váltjuk. pl.:  mm – mm² – mm³, cm – cm² – cm³, dm – dm² – dm³, ...

A hasáb térfogata
Maga az eljárás úgy néz ki, hogy az egységkockákkal lefedjük az alaplapot, azaz megállapítjuk, hogy egy rétegben mennyi egységkocka fér el, majd meghatározzuk, hogy hány ilyen réteget tudunk egymásra helyezni úgy, hogy megtöltsük az adott hasábot.
Megfigyelhetjük, hogy az első (alsó) rétegben éppen annyi kocka fér el, mint az alaplap területe, továbbá azt sem nehéz kikövetkeztetnünk, hogy hány darab réteget kell egymásra helyeznünk a test feltöltéséhez. Természetesen ez éppen a test magasságával lesz egyenlő.

Így tehát megállapíthatjuk, hogy a hasáb térfogata megegyezik a hasáb alaplapjának a területének és a test magasságának a szorzatával.
Ezek alapján már könnyedén meg tudjuk mondani, hogy mennyi a test térfogata, hiszen így sikerült visszavezetni a síkidomok (sokszögek) területére, aminek megoldása mostanra már bizonyára nem okoz problémát. Ha megvan az alaplap területe, akkor azt már csak meg kell szoroznunk a test magasságával (két szám szorzata, ami szintén nem lehet probléma), továbbá ki kell egészíteni a megfelelő mértékegységgel.

A henger térfogata
Itt szerencsére nem kell új képletet megtanulnunk, hiszen az előző bejegyzésben (Hasáb, henger, gúla, kúp értelmezése, rajzolása) szó esett arról, hogy a hengernek mi is a "teljes" neve? Ebből tehát látszik, hogy használható rá a hasáboknál felfedezett képlet, azaz az alaplap (ez esetben a kör) területe, szorozva a test magasságával.
A gúla térfogata
Mielőtt nekilátunk a gúla térfogat-képletének a felírásához, végezze el a következő kísérletet:

Előkészítés:
Készítsen kartonpapírból egy gúlát és egy hasábot úgy, hogy egybevágó legyen a két test alaplapja, valamint a magassága. Mielőtt összeillesztené és egymáshoz ragasztaná az egyes testek lapjait ("fülek" segítségével), a gúla és a hasáb alaplapját hagyja rögzítés nélkül, azaz maradjanak az alaplapjuk felől nyitottak ezek a testek.
Most jön a próba:
Töltse meg (a fejére állított) gúlát apró kaviccsal, gyönggyel, száraz homokkal, majd öntse bele a hasábba! Ezt a műveletet folytassa egészen addig, amíg a hasáb meg nem telik apró kaviccsal, gyönggyel, száraz homokkal. Mit tapasztalt? Hányszor kellett megtöltenie a gúla belsejét majd átönteni a hasáb belsejébe ahhoz, hogy az megteljen?

Ha a fenti kísérletet sikerült elvégezni, akkor bizonyára Ön is azt tapasztalta, hogy a gúla tartalma háromszor fér bele a hasábba.

Ebből azt a következtetést tudjuk levonni, hogy a hasáb térfogata háromszor akkora, mint a gúla térfogata, illetve a gúla térfogata harmadrésze a hasáb térfogatának. Természetesen csak abban az esetben, ha a gúla és a hasáb alaplapja egybevágó, s a magasságuk egyenlő.
Ekkor tehát a gúla térfogata:
A kúp térfogata
Akárcsak a henger esetében, itt is elmondhatjuk, hogy a kúp "teljes" neve miatt nem kell új képletet megtanulni, hanem használhatjuk a gúlánál használtat.
Ennek alapján:
Összefoglalás
A fentiekből tehát látható, hogy mindössze egy képletet és egy összefüggést kell megjegyeznünk (valamint a testek "teljes" neveit).
A képlet:
Az összefüggés:
A gúla térfogata harmada a (megfelelő) hasáb térfogatának.

A testek "teljes" nevei:
A henger egyben hasáb, valamint a kúp egyben gúla.


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése