2013. február 10., vasárnap

A szabályos sokszög – kerülete, területe

Ebből a sorozatból nem maradhatnak ki a szabályos sokszögek sem. Egyrészt, mert ezek is a síkidomok közé tartoznak, másrészt pedig, mert nagyon sok feladatban fordulnak elő.
Ebben a bejegyzésben megnézzük, hogy mik is azok a szabályos sokszögek, továbbá a kerületükre valamint a területükre is nézünk egy-egy számítási lehetőséget.

Mi a szabályos sokszög?
Szabályos sokszög: Olyan sokszög, melynek minden oldala és szöge egyenlő.
A korábbi bejegyzésekben megismerkedtünk már a szabályos háromszöggel, illetve a szabályos négyszöggel (négyzet), valamint ezek kerületével és területével.
Így most a szabályos ötszög, hatszög, hétszög, ..., általában "n"-szög elemzésére kerül sor.

Hogyan néz ki? Milyennek képzeljük el?
Az elkészítéséhez a következőt javaslom:
1.) Rajzoljunk egy körvonalat,
2.) Jelöljünk be a körnek egy sugarát,
3.) Számítsuk ki a középponti szöget: 360°/n képlettel (pl.: ötszögnél: 360° / 5 = 72°)
4.) A kör középpontjában (az előbbi sugárra) mérjük fel a kapott szöget "n-1"-szer, s rajzoljuk meg a szögszár és a körvonal metszéspontját,
5.) Kössük össze a körvonalon keletkezett metszéspontokat.
Az így kapott sokszög – a szerkesztési pontatlanságtól eltekintve – szabályosnak mondható.

Megjegyzés: Sok esetben szabályos hatszögről szól a feladat szövege, ezért használhatjuk azt a módszert, ami az analóg órának a számlapjához köthető. Mivel az ilyen órán szereplő 12 szám, egyben egy szabályos tizenkétszöget határoz meg, ezért, ha csak minden páros (vagy páratlan) számot kötünk össze, akkor éppen egy szabályos hatszögnek megfelelő ábrát kapunk.

Mit, hogyan célszerű megrajzolni, jelölni?
Az alábbi ábrán egy szabályos nyolcszöget, valamint annak, a megfelelő adatait láthatjuk. Ennek alapján a feladatoknak megfelelő, tetszőleges szabályos sokszög rajzát el tudjuk készíteni.
Megfigyelhető, hogy ez a szabályos sokszög, 8 darab, egyenlő szárú háromszögre osztható, ezért a szabályos nyolcszög mellé azonnal el is készíthetjük az egyik ilyen egyenlő szárú háromszöget.


A szabályos sokszög kerülete
Ugye emlékszik még a kerület fogalmára? Annak alapján már nem is nehéz meghatározni a szabályos sokszögek kerületét. Mivel az oldalak hosszúsága egyenlő, ezért a kerület kiszámításához elég ezt az egy oldalt meghatározni. Ennek segítségével pedig a kerület már könnyen felírható.
Jelölés:
n: csúcsok, s egyben az oldalak száma,
a: egy oldal hosszúsága
K = n ∙ a
A szabályos sokszög területe
Általában ennek a kiszámítása okozza a legnagyobb kihívást a sokszögeknél.
Mi a megoldás? A fenti rajz alapján könnyen ki is találhatjuk:
– a sokszöget feldaraboljuk egybevágó háromszögekre,
– kiszámítjuk egy ilyen háromszög területét; végül
– a háromszög területét megszorozzuk azok számával.

A fentiekből az is következik, hogy mindössze a háromszög területképleteire van szükség. A legtöbb esetben ismerjük az oldalak számát (n), amiből ki tudjuk számítani a középponti szöget, azaz a háromszög szárszögét (alfa).
Ehhez általában a sokszög köré írható kör sugarát, a sokszögbe írható kör sugarát vagy a sokszög oldalainak a hosszát kapjuk meg a feladatban.
Nézzük meg ezeket az eseteket külön-külön!

1.) Ismerjük a sokszög köré írható kör sugarát
Vizsgáljuk meg a háromszöget ábrázoló rajzunkat. Megállapíthatjuk hogy a sokszög köré írható kör sugara megegyezik a háromszög szárával, ezért is jelöljük r-rel.
Ebben az esetben a háromszögből ismerünk két oldalt, valamit az általuk közrezárt szöget, amiknek segítségével már könnyedén meg tudjuk határozni a területét, mégpedig az ún. szinuszos területképlettel.

2.) Ismerjük a sokszögbe írható kör sugarát
Ha újra visszapillantunk a rajhoz, láthatjuk, hogy ebben az esetben a háromszögnek ismerjük a magasságát. Tekintsük tehát a magasság megrajzolásával keletkezett derékszögű háromszögek egyikét, továbbá vegyük figyelembe, hogy a magasság, valamint a szár által bezárt szög éppen a középponti szög fele.
Innen – a trigonometrikus függvényeket (sin, cos, tg, ctg) felhasználva – kétféleképpen mehetünk tovább:
a) kiszámítjuk a derékszögű háromszög átfogóját (az egyenlő szárú háromszögben ez az egyik szár), majd az előző megoldás alapján a háromszög területét, illetve
b) kiszámítjuk a derékszögű háromszög (ismeretlen) befogóját (ami éppen a sokszög oldalának a felével egyenlő), majd a "klasszikus" (ama/2) képletet használva kiszámítjuk a háromszög területét.

Megjegyzés: Ha a szabályos sokszög kerülete is kérdés, akkor az a) és b) lehetőségek közül célszerű a b)-t választani, így a számolás folyamán mindenképpen hozzájutunk a sokszög oldalának a hosszához.

3.) Ismerjük a sokszög oldalainak a hosszát
A 2.)-es ponthoz hasonlóan itt is elkészítjük a derékszögű háromszöget, majd a trigonometrikus függvények megfelelő alkalmazásával (a szárszög fele, a sokszög oldalának a fele) kiszámíthatjuk az egyenlő szárú háromszög magasságát. Ennek ismeretében pedig szintén az ama/2 képletet alkalmazva ki tudjuk számítani az egyenlő szárú háromszög területét. (Amennyiben a derékszögű háromszögben az átfogót számítjuk ki, akkor újra a szinuszos területképletet kell alkalmaznunk.)

Végül pedig az egyenlő szárú háromszög területére kapott eredményt már csak meg kell szoroznunk a háromszögek számával, s el is jutottunk a szabályos sokszög területéhez.

Nézzük tehát az egyes képleteket:



--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

4 megjegyzés:

  1. Nagyon összeszedett, érthető, szép munka, nekem segített, köszönöm. :)

    VálaszTörlés
  2. Ezt a megjegyzést eltávolította a szerző.

    VálaszTörlés
  3. Egy kérdésem van csak: a 3. képletnél ha tg-el számolunk, akkor nem a magasságot kellene osztani az alap felével (hisz tgalfa=szemközti befogó/szomszédos befogó)?

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Névtelen!


      Amit a tg alfáról ír, az teljesen helytálló.

      Azonban a 3. pontban (, amikor ismerjük a sokszög oldalainak hosszát,) a fenti rajzon látható sokszög adatai közül ismerjük az "n", valamint az "a" értékét.

      "n"-ből ki tudjuk számítani az alfát, ebből az alfa/2-t.

      Ezután már csak 1 db egyenlő szárú háromszögre, illetve ebben az alaphoz tartozó magasság berajzolásával keletkezett derékszögű háromszögre kell koncentrálnunk.

      Az Ön által említett tg alfa képletet alkalmazzuk az imént említett derékszögű háromszögnek az (alfa/2) szögére, amiben a szemközti befogó egyenlő a sokszög oldalának a felével, a szomszédos befogó pedig a háromszög magasságával egyenlő.

      Ennek megfelelően a tg-képlet:
      tg (alfa/2) = (a/2) / ma


      Mi okozhatta a félreértést?
      *******************************

      Azt gondolom, hogy egy-egy kérdés felmerülése esetén nem elég azt vizsgálni, hogy mi az adott kérdésre a válasz, hanem érdemes a kérdés felmerülésének az okát is megvizsgálni.

      Az Ön esetében azt gondolom, hogy a félreértést az okozhatta, hogy a tg függvényt ebben az esetben az általánostól eltérő módon használjuk.

      A legtöbb, trigonometrikus függvényekkel kapcsolatos feladatban a derékszögű háromszögben arra a hegyesszögre írjuk fel az összefüggéseket, amelyik a "vízszintes" befogón található.
      A mi esetünkben pedig ez a hegyesszög nem a háromszög egyik alapon fekvő szöge, hanem a szárszög fele.

      Így megváltozik a "szöggel szemközti" és a "szög melletti" befogók elhelyezkedése a rajzon.


      Nagy örömet okozott számomra, hogy a tg alfa felírásában nem az oldalak betűjelére, hanem azoknak a szöghöz való elhelyezkedésére hivatkozott.
      Meglátja, hogy ennek nagy hasznát fogja venni a későbbi alkalmazások során.


      További sok sikert kívánok!

      Üdvözlettel
      Matematika Segítő

      Törlés