Matematikából is tartalmas hírlevelet szeretne kapni?
Gyakorló-feladatok minden hétre, megoldásokkal.
Ha Önnek is kell egy ilyen feladatgyűjtemény,...

  ... akkor iratkozzon fel a heti rendszerességgel érkező Matematika Segítő hírlevelemre, amiből előre értesülhet a megjelenő blogbejegyzés témájáról, olvashat elméleti és gyakorlati tanácsokról, illetve minden hétre küldök egy-egy gyakorló feladatot, melyeknek a megoldásával tovább mélyítheti matematika tudását!
  Ezen felül minden levélben kap egy feladványt, melynek megoldása szintén csiszolja elméjét. –  És mindezt kockázatmentesen...
  A rendszeres (hétfői) gyakorló feladatokat igénylők a következő AJÁNDÉKOK közül VÁLASZTHATNAK:
  A Szöveges feladatok megoldása című, (közel 200 oldalból álló) 6 részes sorozat kötetei, valamint az ehhez szorosan kapcsolódó (70 oldalas) munkafüzet, illetve az ALGEBRA – az Ön segítő partnere programcsomag bemutató – Számok normálalakja, műveletek normálalakban megadott számokkal című – kötete közül.

  Ön tehát melyik ajándékot szeretné?  »»  K L I K K   A   M E G F E L E L Ő   K É P R E !   »»
*********************************************

Ha pedig csak egyetlen témakört szeretne alaposan begyakorolni és az adott témában több feladatra lenne szüksége, kérem rendelje meg az Önnek szükséges témakört gyakoroltató megfelelő feladatlapot!
– KEDVEZMÉNNYEL... CSAK JÚLIUSBAN!!! –

Matematika Segítő – Feladatlapok kedvezményes áron - CSAK JÚLIUSBAN!
(Természetesen megoldásokkal együtt...)

További információk az
adott témát gyakoroltató feladatokról és megoldásaikról:
GYAKOROLNI SZERETNE? PÓTVIZSGÁRA KÉSZÜL?
– Feladatlapok gyakorláshoz...


*********************************************

2012. december 15., szombat

Számok négyzetgyöke – táblázat segítségével

A legutóbbi bejegyzésben már körbejártuk a témát, olyan értelemben, hogy mit is értünk egy szám négyzetgyökén, általában.
A mai alkalommal a nemnegatív valós számok négyzetgyökének közelítő értékét fogjuk meghatározni, mégpedig a számok négyzetét tartalmazó táblázat segítségével.

Frissítve: Gyakorláshoz elérhető az ALGEBRA következő kötete:
Hatványozás, a hatványozás azonosságai;
Számok négyzete, négyzetgyöke keresése táblázatból

Mielőtt nekilátnánk, tegyünk néhány kikötést!

1. Mivel a mai alkalommal csak arról lesz szó, hogy miképpen keressük meg egy adott szám négyzetgyökét a táblázatban, ezért most nem foglalkozunk az egyéb feladatokban esetlegesen előforduló előjel-problémákkal. Sem a négyzetgyökjel alatt, sem pedig a négyzetgyök eredményét tekintve.
Az alábbi feladatokban mindenütt csak nem negatív számok szerepelnek, így minden esetben elvégezhető a négyzetgyökvonás. Ami a négyzetgyökvonás eredményét illeti, az szintén nem negatív érték lesz, ami viszont a definíciójából adódik.
Ezt azért fontos, hogy tisztázzuk, mert vannak olyan feladatok (ugye, ki gondolta volna?), melyeknél azt hisszük, hogy minden rendben van, csak közben vagy elveszítettünk egy megoldást a lehetségesek közül, vagy éppen nem vettünk figyelembe valamely információt.
Nos, tehát ezúttal csak nem negatív számokra koncentrálunk.

2. A táblázat csak véges pontossággal tartalmazza az egyes értékeket, ezért ezt – különösen a kiegészítő részben tárgyaltaknál – vegyük figyelembe a feladataink megoldásakor, illetve azok ellenőrzésekor.

Milyen részei vannak a táblázatunknak?

Az alábbi képen látható, hogy milyen táblázatra is gondolok akkor, amikor arról beszélek, hogy táblázat segítségével határozzuk meg a számok négyzetgyökét. (A kép nagyítható.)


Vizsgáljuk is meg a részeit:
1. A CÍM: Számok négyzete (1,00 – 9,99): Mivel korábban már esett szó arról, hogy a négyzetre emelés és a négyzetgyökvonás – részben – egymás ellentétes műveletei, ezért ezen nem is lepődünk meg, vagyis olyan táblázatot fogunk a számok négyzetgyökének meghatározásához, amelyben a számok négyzetei szerepelnek..
2. A ZÖLD hátterű számok: Ebben az oszlopban megfigyelhetjük, hogy két számjegyből álló számok szerepelnek, melyek között található egy tizedesvessző. Így az első számjegy az egyesek helyiértékén álló egész értéket, míg a második a tized helyiértéken álló tizedesjegyet jelöli.
3. A KÉK hátterű számok: A felső sorban láthatjuk a számjegyeket (alaki értékek) 0-tól 9-ig. Ezek az előző egész+tized alakú számot egészítik ki a század helyiértékén álló tizedesjeggyel.
4. A FEHÉR hátterű számok: a megfelelő (egész+tized+század szerkezetű) számnak a négyzetét mutatja.

Most, hogy már megismertük a mellékelt táblázatot, álljunk is neki az alkalmazásának!

Hogyan használjuk a táblázatot? – I.
Bemelegítésképpen olyan számnak keressük a négyzetgyökét, amely a fehér hátterű számok között, mégpedig a "0" jelű oszlopban található. Lássunk egy feladatot!
1. feladat:
Mennyi a négyzetgyöke az 5,29-nak?
Emlékezzünk vissza a négyzetgyökvonás definíciójára, amelyben szerepelt, hogy "...melynek négyzete 'a'." Mivel a mi táblázatunkban szerepelnek a számok négyzetei, ezért most – visszafelé gondolkodva – meg kell keresnünk azt a számot, melynek a négyzete 5,29.

A lépések:
1. Keressük meg BELÜL, a FEHÉR hátterű számok között a négyzetgyök jel alatt található számot,
2. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a ZÖLD hátterű számok közül melyikkel esik egy sorba,
3. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a KÉK hátterű számok közül melyikkel esik egy oszlopba, végül
4. A 2. és 3. lépésben leolvasott számokat olvassuk össze.

A fenti lépéseket végrehajtva a mi esetünkben, a következőket tapasztaljuk:
1. A táblázat belsejében megtaláljuk az 5,290-et, [5,29 = 5,290],
2. A 2,3-del esik egy sorba,
3. A 0-val esik egy oszlopba,
4. 2,3 (egész+tized), majd utána írjuk a 0-t (század), amikből a 2,30-ot kapjuk.


Végeredményünk:

Ha hatványozással ellenőrizzük a végeredményünket, akkor azt tapasztaljuk, hogy jól számoltunk, illetve használtuk a táblázatot.

Megjegyzés:
Ha olyan számból kell négyzetgyököt vonnunk, mely pontosan megegyezik a táblázatunk "0" jelű oszlopában található értékekkel, akkor az eredményünk is pontosan megegyezik a leolvasott értékkel.
Abban az esetben, ha nem ebben az oszlopban, vagy nem pontosan az ott található számoknak a négyzetgyökét keressük, akkor csak a "körülbelül egyenlő" jelet (≈) használhatjuk a megoldásban.

Hogyan használjuk a táblázatot? – II.
Ebben a részben olyan számnak keressük a négyzetgyökét, mely a táblázat fehér hátterű számai között ugyancsak megtalálható, de ezúttal nem a "0" jelű oszlopban. Ehhez is nézzünk egy feladatot!
2. feladat:
Mennyi a négyzetgyöke a 45,43-nak?
Az előző esetben használt lépések, most is használhatók, azaz:

1. Keressük meg BELÜL, a FEHÉR hátterű számok között a négyzetgyök jel alatt található számot,
2. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a ZÖLD hátterű számok közül melyikkel esik egy sorba,
3. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a KÉK hátterű számok közül melyikkel esik egy oszlopba, végül
4. A 2. és 3. lépésben leolvasott számokat olvassuk össze.

A fenti lépéseket végrehajtva a mi feladatunknak megfelelően:
1. A táblázat belsejében megtaláljuk a 45,43-ot,
2. A 6,7-del esik egy sorba,
3. A 4-gyel esik egy oszlopba,
4. 6,7 (egész+tized), majd utána írjuk a 4-et (század), amikből a 6,74-ot kapjuk.


Végeredményünk:

Ha ezt a végeredményt is ellenőrizzük hatványozással, illetve szorzással (6,74² = 6,74 ∙ 6,74 = 45,4276), akkor azt tapasztaljuk, hogy van némi eltérés, mégpedig ebben az esetben 0,0024. Ettől az eltéréstől viszont eltekintünk, hiszen, ha számológéppel, illetve írásban számolunk, akkor is két tizedesjegyre kerekítjük a feladatokban kapott eredményeket. (Hacsak a feladat a pontos végeredményt külön nem kéri.) Tehát, ha a szorzásnál kapott eredményünket is kerekítjük (2 tizedesjegyre), akkor már megegyezik a táblázatból leolvasott eredménnyel.

Hogyan használjuk a táblázatot? – III.
Az előző esetekben olyan számok négyzetgyökét kerestük, melyek pontosan megtalálhatók a táblázat fehér hátterű számai között. Most kibővítjük ismereteinket, azaz olyan számokból is tudunk négyzetgyököt vonni, melyek nincsenek meg a táblázatban.

A fenti lépések közül az elsőt ki kell egészítenünk, hiszen nem fogjuk tudni megtalálni a számot a fehér hátterű számok között. Ilyenkor megnézzük, hogy a táblázatban található értékek közül melyikhez van a legközelebb, s annak olvassuk le a négyzetgyökét.
Hogyan működik a gyakorlatban? Jöjjön a feladat:
3. feladat:
Mennyi a négyzetgyöke a 23,3-nek?
Mivel a táblázatban ez a szám így nem található meg, végezzünk egy kis átalakítást: 23,3 = 23,30
(Észrevehetjük, hogy a táblázat fehér hátterű számai mind 4 jegyűek, 1+3, illetve 2+2 egész+tizedesjegyből állnak.)

Módosítsuk a fenti lépések közül az elsőt, a többit viszont hagyjuk változatlanul – az alábbiak szerint:

1. Keressük meg BELÜL, a FEHÉR hátterű számok között a négyzetgyök jel alatt található számhoz legközelebb található számot,
2. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a ZÖLD hátterű számok közül melyikkel esik egy sorba,
3. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a KÉK hátterű számok közül melyikkel esik egy oszlopba, végül
4. A 2. és 3. lépésben leolvasott számokat olvassuk össze.

A fenti lépéseket végrehajtva a mi feladatunknak megfelelően:
1.1 A táblázat belsejében megtaláljuk a 23,23-ot, illetve a 23,33-ot, melyek között szerepel a keresett számunk, továbbá szomszédosak is. (23,23 < 23,30 < 23,33)
1,2 Állapítsuk meg, hogy melyikhez van közelebb! Az eltéréseket most század pontossággal számoljuk. A kisebbtől 7 századra, míg a nagyobbtól 3 századra van, tehát a 23,33-hoz van közelebb, így ennek a négyzetgyökét fogjuk leolvasni.
2. A 4,8-del esik egy sorba,
3. A 3-mal esik egy oszlopba,
4. 4,8 (egész+tized), majd utána írjuk a 3-at (század), amikből a 4,83-ot kapjuk.

Végeredményünk:

Hogyan használjuk a táblázatot? – IV. (kiegészítés)
Az előzőekben megnéztük azoknak a számoknak a négyzetgyökét, melyek az [1; 100] intervallumba estek. Az utolsó esetben olyan számok négyzetgyökét keressük, melyek nincsenek az [1; 100] intervallumban, azaz vagy 100-nál nagyobbak (a 100 négyzetgyökét nem is kell keresnünk, azt tudjuk fejből :-) ), vagy 0 és 1 közé esnek.

Amennyiben ez az eset áll fenn, úgy további lépésekkel egészül ki a feladat megoldása. Tehát nem a négyzetgyök keresése, hanem a feladat megoldása.

A lépések:
1. Átalakítjuk a négyzetgyökjel alatti számot, mégpedig szorzattá, melynek az egyik tényezője egy olyan szám, mely már az [1; 100] intervallumba esik, a másik tényezője pedig a 10-nek páros kitevőjű hatványa.
2. Átalakítjuk a négyzetgyökös kifejezésünket: szorzat négyzetgyökéből létre hozzuk a tényezők négyzetgyökének a szorzatát.
3. Az első négyzetgyökös kifejezés eredményét megkeressük a táblázatban.
4. A második négyzetgyökös kifejezés értékét kiszámítjuk.
5. A kapott szorzatot (a 3. és 4. lépésben találhatók a szorzat tényezői) átalakítjuk (visszaalakítjuk) a kiindulási feladatnak megfelelő formára.

A fenti lépések első olvasásra lehet, hogy rémítőek, de (olvassuk el többször, s) vegyük észre, hogy a fenti lépések közül nekünk jelenleg "csak" a 3-kal kell foglalkoznunk, hiszen ebben a lépésben keressük meg a táblázatból a megfelelő szám négyzetgyökét.

Mindazonáltal álljon itt egy feladat, mely bemutatja, hogy mit is jelentenek az egyes
lépések – további magyarázat nélkül.
4. feladat:
Mennyi a négyzetgyöke a 75.200.000-nek?

Hogyan határozzuk meg a számok négyzetgyökét
"számok négyzete"-táblázat segítségével? – Összefoglalás


1. Keressük meg BELÜL, a FEHÉR hátterű számok között a négyzetgyök jel alatt található számhoz legközelebb található számot,
2. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a ZÖLD hátterű számok közül melyikkel esik egy sorba,
3. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a KÉK hátterű számok közül melyikkel esik egy oszlopba, végül
4. A 2. és 3. lépésben leolvasott számokat olvassuk össze.


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése