Matematikából is tartalmas hírlevelet szeretne kapni?
Gyakorló-feladatok minden hétre, megoldásokkal.
Ha Önnek is kell egy ilyen feladatgyűjtemény,...

  ... akkor iratkozzon fel a heti rendszerességgel érkező Matematika Segítő hírlevelemre, amiből előre értesülhet a megjelenő blogbejegyzés témájáról, olvashat elméleti és gyakorlati tanácsokról, illetve minden hétre küldök egy-egy gyakorló feladatot, melyeknek a megoldásával tovább mélyítheti matematika tudását!
  Ezen felül minden levélben kap egy feladványt, melynek megoldása szintén csiszolja elméjét. –  És mindezt kockázatmentesen...
  A rendszeres (hétfői) gyakorló feladatokat igénylők a következő AJÁNDÉKOK közül VÁLASZTHATNAK:
  A Szöveges feladatok megoldása című, (közel 200 oldalból álló) 6 részes sorozat kötetei, valamint az ehhez szorosan kapcsolódó (70 oldalas) munkafüzet, illetve az ALGEBRA – az Ön segítő partnere programcsomag bemutató – Számok normálalakja, műveletek normálalakban megadott számokkal című – kötete közül.

  Ön tehát melyik ajándékot szeretné?  »»  K L I K K   A   M E G F E L E L Ő   K É P R E !   »»
*********************************************

Ha pedig csak egyetlen témakört szeretne alaposan begyakorolni és az adott témában több feladatra lenne szüksége, kérem rendelje meg az Önnek szükséges témakört gyakoroltató megfelelő feladatlapot!

(Természetesen megoldásokkal együtt...)

További információk az
adott témát gyakoroltató feladatokról és megoldásaikról:
GYAKOROLNI SZERETNE? – Feladatlapok gyakorláshoz...


*********************************************

2012. december 15., szombat

Számok négyzetgyöke – táblázat segítségével

A legutóbbi bejegyzésben már körbejártuk a témát, olyan értelemben, hogy mit is értünk egy szám négyzetgyökén, általában.
A mai alkalommal a nemnegatív valós számok négyzetgyökének közelítő értékét fogjuk meghatározni, mégpedig a számok négyzetét tartalmazó táblázat segítségével.

Frissítve: Gyakorláshoz elérhető az ALGEBRA következő kötete:
Hatványozás, a hatványozás azonosságai;
Számok négyzete, négyzetgyöke keresése táblázatból

Mielőtt nekilátnánk, tegyünk néhány kikötést!

1. Mivel a mai alkalommal csak arról lesz szó, hogy miképpen keressük meg egy adott szám négyzetgyökét a táblázatban, ezért most nem foglalkozunk az egyéb feladatokban esetlegesen előforduló előjel-problémákkal. Sem a négyzetgyökjel alatt, sem pedig a négyzetgyök eredményét tekintve.
Az alábbi feladatokban mindenütt csak nem negatív számok szerepelnek, így minden esetben elvégezhető a négyzetgyökvonás. Ami a négyzetgyökvonás eredményét illeti, az szintén nem negatív érték lesz, ami viszont a definíciójából adódik.
Ezt azért fontos, hogy tisztázzuk, mert vannak olyan feladatok (ugye, ki gondolta volna?), melyeknél azt hisszük, hogy minden rendben van, csak közben vagy elveszítettünk egy megoldást a lehetségesek közül, vagy éppen nem vettünk figyelembe valamely információt.
Nos, tehát ezúttal csak nem negatív számokra koncentrálunk.

2. A táblázat csak véges pontossággal tartalmazza az egyes értékeket, ezért ezt – különösen a kiegészítő részben tárgyaltaknál – vegyük figyelembe a feladataink megoldásakor, illetve azok ellenőrzésekor.

Milyen részei vannak a táblázatunknak?

Az alábbi képen látható, hogy milyen táblázatra is gondolok akkor, amikor arról beszélek, hogy táblázat segítségével határozzuk meg a számok négyzetgyökét. (A kép nagyítható.)


Vizsgáljuk is meg a részeit:
1. A CÍM: Számok négyzete (1,00 – 9,99): Mivel korábban már esett szó arról, hogy a négyzetre emelés és a négyzetgyökvonás – részben – egymás ellentétes műveletei, ezért ezen nem is lepődünk meg, vagyis olyan táblázatot fogunk a számok négyzetgyökének meghatározásához, amelyben a számok négyzetei szerepelnek..
2. A ZÖLD hátterű számok: Ebben az oszlopban megfigyelhetjük, hogy két számjegyből álló számok szerepelnek, melyek között található egy tizedesvessző. Így az első számjegy az egyesek helyiértékén álló egész értéket, míg a második a tized helyiértéken álló tizedesjegyet jelöli.
3. A KÉK hátterű számok: A felső sorban láthatjuk a számjegyeket (alaki értékek) 0-tól 9-ig. Ezek az előző egész+tized alakú számot egészítik ki a század helyiértékén álló tizedesjeggyel.
4. A FEHÉR hátterű számok: a megfelelő (egész+tized+század szerkezetű) számnak a négyzetét mutatja.

Most, hogy már megismertük a mellékelt táblázatot, álljunk is neki az alkalmazásának!

Hogyan használjuk a táblázatot? – I.
Bemelegítésképpen olyan számnak keressük a négyzetgyökét, amely a fehér hátterű számok között, mégpedig a "0" jelű oszlopban található. Lássunk egy feladatot!
1. feladat:
Mennyi a négyzetgyöke az 5,29-nak?
Emlékezzünk vissza a négyzetgyökvonás definíciójára, amelyben szerepelt, hogy "...melynek négyzete 'a'." Mivel a mi táblázatunkban szerepelnek a számok négyzetei, ezért most – visszafelé gondolkodva – meg kell keresnünk azt a számot, melynek a négyzete 5,29.

A lépések:
1. Keressük meg BELÜL, a FEHÉR hátterű számok között a négyzetgyök jel alatt található számot,
2. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a ZÖLD hátterű számok közül melyikkel esik egy sorba,
3. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a KÉK hátterű számok közül melyikkel esik egy oszlopba, végül
4. A 2. és 3. lépésben leolvasott számokat olvassuk össze.

A fenti lépéseket végrehajtva a mi esetünkben, a következőket tapasztaljuk:
1. A táblázat belsejében megtaláljuk az 5,290-et, [5,29 = 5,290],
2. A 2,3-del esik egy sorba,
3. A 0-val esik egy oszlopba,
4. 2,3 (egész+tized), majd utána írjuk a 0-t (század), amikből a 2,30-ot kapjuk.


Végeredményünk:

Ha hatványozással ellenőrizzük a végeredményünket, akkor azt tapasztaljuk, hogy jól számoltunk, illetve használtuk a táblázatot.

Megjegyzés:
Ha olyan számból kell négyzetgyököt vonnunk, mely pontosan megegyezik a táblázatunk "0" jelű oszlopában található értékekkel, akkor az eredményünk is pontosan megegyezik a leolvasott értékkel.
Abban az esetben, ha nem ebben az oszlopban, vagy nem pontosan az ott található számoknak a négyzetgyökét keressük, akkor csak a "körülbelül egyenlő" jelet (≈) használhatjuk a megoldásban.

Hogyan használjuk a táblázatot? – II.
Ebben a részben olyan számnak keressük a négyzetgyökét, mely a táblázat fehér hátterű számai között ugyancsak megtalálható, de ezúttal nem a "0" jelű oszlopban. Ehhez is nézzünk egy feladatot!
2. feladat:
Mennyi a négyzetgyöke a 45,43-nak?
Az előző esetben használt lépések, most is használhatók, azaz:

1. Keressük meg BELÜL, a FEHÉR hátterű számok között a négyzetgyök jel alatt található számot,
2. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a ZÖLD hátterű számok közül melyikkel esik egy sorba,
3. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a KÉK hátterű számok közül melyikkel esik egy oszlopba, végül
4. A 2. és 3. lépésben leolvasott számokat olvassuk össze.

A fenti lépéseket végrehajtva a mi feladatunknak megfelelően:
1. A táblázat belsejében megtaláljuk a 45,43-ot,
2. A 6,7-del esik egy sorba,
3. A 4-gyel esik egy oszlopba,
4. 6,7 (egész+tized), majd utána írjuk a 4-et (század), amikből a 6,74-ot kapjuk.


Végeredményünk:

Ha ezt a végeredményt is ellenőrizzük hatványozással, illetve szorzással (6,74² = 6,74 ∙ 6,74 = 45,4276), akkor azt tapasztaljuk, hogy van némi eltérés, mégpedig ebben az esetben 0,0024. Ettől az eltéréstől viszont eltekintünk, hiszen, ha számológéppel, illetve írásban számolunk, akkor is két tizedesjegyre kerekítjük a feladatokban kapott eredményeket. (Hacsak a feladat a pontos végeredményt külön nem kéri.) Tehát, ha a szorzásnál kapott eredményünket is kerekítjük (2 tizedesjegyre), akkor már megegyezik a táblázatból leolvasott eredménnyel.

Hogyan használjuk a táblázatot? – III.
Az előző esetekben olyan számok négyzetgyökét kerestük, melyek pontosan megtalálhatók a táblázat fehér hátterű számai között. Most kibővítjük ismereteinket, azaz olyan számokból is tudunk négyzetgyököt vonni, melyek nincsenek meg a táblázatban.

A fenti lépések közül az elsőt ki kell egészítenünk, hiszen nem fogjuk tudni megtalálni a számot a fehér hátterű számok között. Ilyenkor megnézzük, hogy a táblázatban található értékek közül melyikhez van a legközelebb, s annak olvassuk le a négyzetgyökét.
Hogyan működik a gyakorlatban? Jöjjön a feladat:
3. feladat:
Mennyi a négyzetgyöke a 23,3-nek?
Mivel a táblázatban ez a szám így nem található meg, végezzünk egy kis átalakítást: 23,3 = 23,30
(Észrevehetjük, hogy a táblázat fehér hátterű számai mind 4 jegyűek, 1+3, illetve 2+2 egész+tizedesjegyből állnak.)

Módosítsuk a fenti lépések közül az elsőt, a többit viszont hagyjuk változatlanul – az alábbiak szerint:

1. Keressük meg BELÜL, a FEHÉR hátterű számok között a négyzetgyök jel alatt található számhoz legközelebb található számot,
2. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a ZÖLD hátterű számok közül melyikkel esik egy sorba,
3. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a KÉK hátterű számok közül melyikkel esik egy oszlopba, végül
4. A 2. és 3. lépésben leolvasott számokat olvassuk össze.

A fenti lépéseket végrehajtva a mi feladatunknak megfelelően:
1.1 A táblázat belsejében megtaláljuk a 23,23-ot, illetve a 23,33-ot, melyek között szerepel a keresett számunk, továbbá szomszédosak is. (23,23 < 23,30 < 23,33)
1,2 Állapítsuk meg, hogy melyikhez van közelebb! Az eltéréseket most század pontossággal számoljuk. A kisebbtől 7 századra, míg a nagyobbtól 3 századra van, tehát a 23,33-hoz van közelebb, így ennek a négyzetgyökét fogjuk leolvasni.
2. A 4,8-del esik egy sorba,
3. A 3-mal esik egy oszlopba,
4. 4,8 (egész+tized), majd utána írjuk a 3-at (század), amikből a 4,83-ot kapjuk.

Végeredményünk:

Hogyan használjuk a táblázatot? – IV. (kiegészítés)
Az előzőekben megnéztük azoknak a számoknak a négyzetgyökét, melyek az [1; 100] intervallumba estek. Az utolsó esetben olyan számok négyzetgyökét keressük, melyek nincsenek az [1; 100] intervallumban, azaz vagy 100-nál nagyobbak (a 100 négyzetgyökét nem is kell keresnünk, azt tudjuk fejből :-) ), vagy 0 és 1 közé esnek.

Amennyiben ez az eset áll fenn, úgy további lépésekkel egészül ki a feladat megoldása. Tehát nem a négyzetgyök keresése, hanem a feladat megoldása.

A lépések:
1. Átalakítjuk a négyzetgyökjel alatti számot, mégpedig szorzattá, melynek az egyik tényezője egy olyan szám, mely már az [1; 100] intervallumba esik, a másik tényezője pedig a 10-nek páros kitevőjű hatványa.
2. Átalakítjuk a négyzetgyökös kifejezésünket: szorzat négyzetgyökéből létre hozzuk a tényezők négyzetgyökének a szorzatát.
3. Az első négyzetgyökös kifejezés eredményét megkeressük a táblázatban.
4. A második négyzetgyökös kifejezés értékét kiszámítjuk.
5. A kapott szorzatot (a 3. és 4. lépésben találhatók a szorzat tényezői) átalakítjuk (visszaalakítjuk) a kiindulási feladatnak megfelelő formára.

A fenti lépések első olvasásra lehet, hogy rémítőek, de (olvassuk el többször, s) vegyük észre, hogy a fenti lépések közül nekünk jelenleg "csak" a 3-kal kell foglalkoznunk, hiszen ebben a lépésben keressük meg a táblázatból a megfelelő szám négyzetgyökét.

Mindazonáltal álljon itt egy feladat, mely bemutatja, hogy mit is jelentenek az egyes
lépések – további magyarázat nélkül.
4. feladat:
Mennyi a négyzetgyöke a 75.200.000-nek?

Hogyan határozzuk meg a számok négyzetgyökét
"számok négyzete"-táblázat segítségével? – Összefoglalás


1. Keressük meg BELÜL, a FEHÉR hátterű számok között a négyzetgyök jel alatt található számhoz legközelebb található számot,
2. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a ZÖLD hátterű számok közül melyikkel esik egy sorba,
3. Állapítsuk meg, hogy KÍVÜL, a KÉK hátterű számok közül melyikkel esik egy oszlopba, végül
4. A 2. és 3. lépésben leolvasott számokat olvassuk össze.


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése