2012. szeptember 1., szombat

Bizonyítás a matematikában

Sokakban merül fel a kérdés: Tudom a tételt alkalmazni, hát akkor miért kell azt bizonyítani? Már mások úgyis bebizonyították annak helyességét, miért kell nekem is újra megtennem?
A mai bejegyzésben ezen kérdésekre igyekszem válaszolni.

Hogyan épül fel a matematika?
A matematika úgy épül fel, mintha egy építőjátékkal dolgoznánk. Vannak benne elemek, melyeket "néhány szabály" betartása mellett egymáshoz tudunk illeszteni. Ha kapcsolódnak, akkor abból kapunk egy új elemet, aminek felhasználásával további elemek állíthatók elő.
Hogyan kapcsolódik ide a bizonyítás?
Úgy, hogy anélkül, hogy valóban összeillesztenénk az egyes darabokat, kijelenthetjük, hogy az adott "építmény" elkészíthető, és felhasználható egy új építmény elemeként.

A matematikában (jelen esetben a geometriában) ez a következőt jelenti:
1. Jelöljük ki a síknak egy pontját, ez legyen az O, vegyünk körzőnyílásba 3 cm-t, majd rajzoljuk meg a sík azon pontjait, melyek az O ponttól 3 cm-re vannak! Azt tapasztaljuk, hogy ezek a pontok éppen egy körvonalat alkotnak.
Ebben az esetben az O pont és a 3 cm-es távolság voltak az elemeink, a szabály, amit figyelembe vettünk, hogy távolságok méréséhez, jelöléséhez körzőt használhatunk.

2. Ha ténylegesen nem hajtjuk végre a fenti folyamatot, akkor is teljesen tisztában vagyunk azzal, hogy az O ponttól 3 cm-re levő pontok a síkban egy körvonalat fognak meghatározni. Nem azért, mert sokszor elkészítettük és azt tapasztaltuk, hogy ez minden esetben így történt, hanem azért, mert úgy "gyártottuk" a körvonal fogalmát.
Nézzük csak:
Körvonal: A sík egy pontjától adott (nem nulla) távolságra levő pontok összessége a síkban.
Miről is szól? Azt állítja, hogyha van egy pontunk a síkban, és keressük a tőle adott távolságra elhelyezkedő pontokat ugyanabban a síkban, akkor azok a pontok, melyek eleget tesznek a feltételnek éppen egy körvonalat kell, hogy meghatározzanak - úgymond definíció szerint.
Tehát anélkül, hogy elkészítenénk a rajzunkat, "tudjuk", hogy ott körvonalnak "kell" keletkeznie - mégha az eszközeink pontatlanok is. :-)

Miért szükséges a bizonyítás?
Be kell, hogy lássuk: ahhoz, hogy egy-egy építményt később felhasználhassunk, ahhoz minden egyes elemet úgy kell összeilleszteni, hogy később azt már ne kelljen újra elkészítenünk.
Erre a matematikában a bizonyítás ad lehetőséget. Ugyanis egy tételt csak akkor használhatunk fel egy másiknak a bizonyítására, ha azt először bebizonyítjuk, hogy valóban igaz. Persze nem fogadható el indoklásként, hogy "Úgy látszik, hogy igaz!", hanem olyan korábbi bizonyított tételeket kell felhasználnuk, amelyekből "következik", hogy amit állítunk, az valóban úgy van. :-)

Számos olyan ellentmondásra vezető feladat van, melyeknek a megoldása abban rejlik, hogy "úgy látszik".
Az alábbi két – talán "klasszikusnak" mondható – feladat arra igyekszik példát mutatni, hogy a látszat néha csal, azaz, annak ellenére, hogy a feladat, illetve a levezetés hibátlannak tűnik, mégis nyilvánvaló, hogy valahol hiba van a gondolatmenetben.
Geometria: VIGYÁZAT!
Adott egy négyzet, melyet az a.) ábrán jelölt módon szétdarabolunk, majd a b.) ábrának megfelelően újra összeillesztjük az egyes részeket. A területek viszont nem egyeznek. Hogyan lehetséges ez?
Algebra: VIGYÁZAT!
Induljunk ki egy kézenfekvő igazságból, majd az egyenlet átalakításánál alkalmazott lépéseket végrehajtva, egy igencsak meglepő eredményre jutunk. Hol lehet a hiba?


Hogyan használjuk ki a "bizonyítás" nyújtotta előnyöket a felmérőben vagy a vizsgán?
A bizonyításra azért is szükség van, hogy bennünk kialakuljon egyfajta fenntartás a másoktól hallottakkal kapcsolatban. Merüljön fel bennünk olyan kérdés, hogy "Ez tényleg így van?", "Miért is van ez így?", "Azt tapasztaltam, hogy... Miért müködött ezekben az esetekben?", "Ha más számokat választok, akkor ugyanúgy működik, vagy csak ezekre kaptam ezt az eredményt?"
Tehát a bizonyításnak ilyen szempontból nagyon fontos szerepet tulajdonítok, hiszen gondolkodásra késztet, nem pedig a hallottak memorizálására.

Természetesen vannak olyan dolgok (nagyon sok), melyeket memorizálni kell, így ezek felhasználásával – hála az emberi agy gyorsaságának – nagyon gyorsan találhatunk megoldást egy-egy feladatra.
Hogyan is zajlik egy feladat megoldása?
Mindössze végig kell szaladnunk a meglévő ismereteinken és már meg is van a megoldás. Ha mégsem találjuk, akkor viszont kombinálni kell a meglévő ismereteinkben rejlő lépéseket: kettőt, hármat, esetleg többet. Aztán végül eljutunk a megoldáshoz.

Ahhoz, hogy valaki egy felmérőre vagy vizsgára felkészüljön, ahhoz ezeket az ismereteket kell minél jobban elmélyíteni. Hiszen, ha csak egyszer-kétszer hallottunk róla, az még nincs olyan erősen "szem előtt" a fejünkben működő "keresők" számára, ám, ha azt begyakoroljuk, s ezáltal elmélyítjük, úgy az előbbi "keresők" minden egyes feladat elvégzése során találkoztak a szükséges ismerettel, tehát tudják, hogy hol kell keresni a fejünkben. :-)
(Természetesen ez nem az emberi agy működésének pontos leírása, inkább csak gondolatébresztő.)

--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése