2012. július 21., szombat

Zárójelek felbontása az egyenletekben

Az elsőfokú, egy ismeretlenes egyenletek megoldása bejegyzésben a második lépésként említett zárójelek felbontásának a magyarázata eddig váratott magára. Az alábbiakban fény derül arra, hogy milyen buktatói vannak, melyek azok a dolgok, amiknek különös figyelmet kell szentelni, ha hibamentesen akarjuk felbontani ezeket a zárójeleket.

Alapvető szabályok:
- az algebrai kifejezéseket az előjelükkel együtt tekintjük;
- egytagú kifejezés szorozva több tagú kifejezéssel: az egytagú kifejezést, a zárójelben levő összes taggal megszorozzuk;
- az egyes szorzatok előjelét a tényezők előjele határozza meg;
- a zárójelek előtt mindig áll egy egytagú kifejezés (ez lehet egyszerűen egy szám is);
- ismerjük az egész (előjeles) számok szorzatára vonatkozó helyes műveletvégzés szabályait, lépéseit.

Bemelegítés – avagy mindenki tud zárójelet felbontani
Ahhoz, hogy belássuk a fenti alcímben leírtakat, nézzünk egy feladatot:
1. feladat:
3∙(2x + 5) = 9
Ebben a feladatban mindenki nagyon gyorsan és hibátlanul meg fogja tudni mondani, hogy miképpen is lehet felbontani a bal oldalon a zárójelet. A folyamat során a fejünkben lejátszódó monológ a következőhöz hasonló lehet:
- 3∙2 az 6x,
- 3∙5 az 15,
- egyenlő 9.
Matematikailag "csak " az első sor hibás, hiszen 3∙2 az 6 és nem 6x. Persze a sok gyakorlásra hivatkozva mondhatjuk, hogy "de a jó megoldást írtam!" – ettől függetlenül maga az állítás hamis.
A zárójelfelbontás után természetesen ilyen lesz az egyenletünk:
6x +15 = 9
Ugye mindenkinek ilyen lett volna?

Nehezítsük a helyzetet a következő feladatban:
2. feladat:
2∙(3+ 4) + 3∙(2 + 5x) = 1
Ennél mi is lehet a monológ, amit a legtöbben mormolnának? Talán a következőhöz hasonlítana:
- 2∙3 az 6x,
- 2∙4 az 8,
- 3∙2 az 6,
- 3∙5 az 15x,
- egyenlő 1.
Természetesen itt is észrevehetjük, hogy a 2∙3 az 6 és nem 6x, valamint a 3∙5 az 15 és nem 15x. Mindezek ellenére valóban jó lenne a legtöbb "versenyző" felbontása:
6x + 8 + 6 + 15x = 1
Fokozzuk a nehézséget! Hogyan is oldanánk meg a következő zárójelfelbontást?
3. feladat:
2∙(3x + 2) + (4x + 5) = 1
A két zárójel közül az elsővel – a fentiek alapján – már senkinek sem lehet problémája, ám a másodiknál van egy kis érdekesség. Mégpedig az, hogy nincs előtte "semmi". Erre szokták nagyon sokan mondani, hogy "ja, ilyenkor csak el kell hagyni a zárójelet, ami belül van, azokat pedig csak le kell másolni".
Mint ötlet nagyon jó, ennél a feladatnál valóban működik is.

Milyen lesz az egyenletünk a zárójelek felbontása után?
6x + 4 + 4x + 5 = 1
És valóban jó a zárójelfelbontás.

De mi a helyzet azokkal a feladatokkal, ahol esetleg ez nem működik. Mindegyikre tanuljunk meg valami különleges szabályt? Mint várható nem kell minden egyes feladathoz külön-külön megtanulnunk egy-egy felbontási eljárást. Mindössze azt a néhány dolgot kell erősen a fejünkben tartani, ami már a bevezetőben is elhangzott.

A fentiek alapján remélem sokakkal sikerült elhitetnem, hogy mindenki tud zárójelet felbontani.
Vagy mégsem ennyire egyszerű a helyzet? :-)
A kérdés költői, hiszen akkor nem okozna sokaknak nagy fejtörést a zárójelek felbontása.

Az algebrai kifejezéseket tekintsük: előjel+együttható+változó hármas elválaszthatatlan együtteseként!
Tartsunk szem előtt ezt a nagyon fontos szabályt, és térjünk vissza a korábbi feladatokhoz.
Az 1. feladatban a monológ eszerint változik:
- (+3)∙(+2x) az (+6x),
- (+3)∙(+5) az (+15),
- egyenlő 1.

A 2. feladat monológja:
- (+2)∙(+3x) az (+6x),
- (+2)∙(+4) az (+8),
- (+3)∙(+2) az (+6),
- (+3)∙(+5x) az (+15x),
- egyenlő 1.

Amennyiben így tekintünk az egyes kifejezésekre, akkor már az egyes lépések folyamán is matematikailag helyes állításokhoz jutunk.
Ennek a szabálynak a fontosságát majd akkor érzékelhetjük igazán, ha az egyenletben nem csak összeadás szerepel, illetve nem csak pozitív kifejezésekkel végezzük a felbontást.
Ahhoz, hogy ilyen feladatot is górcső alá vegyünk, meg kell ismerkednünk egy másik nagyon fontos szabállyal.

A zárójelek előtt mindig áll egy egytagú kifejezés!
Mi is volt a harmadik feladat?
2∙(3x + 2) + (4x + 5) = 1
Itt a második zárójel előtt "nincs semmi" – mondhatnánk.
Pedig igenis van. Mégpedig legalább egy "+"-jel.

A következő kérdés szokott segíteni: "Mennyi (4x + 5) szerepel az egyenleteben?"
A válasz azonnal szokott érkezni: "1".
Valóban 1 darab (4x + 5) szerepel az egyenletünkben.
És ez mit is jelent? Azt, hogy a (4x + 5) írható úgy is, hogy 1∙(4x + 5).

Nézzük meg, hogyan is változik az egyenletünk, ha a fenti módosítást elvégezzük?
2∙(3x + 2) + 1∙(4x + 5) = 1
Így máris eltűnik az a varázslat, miszerint mondtuk az előbb, hogy "elhagyjuk a zárójelet". Szabad elhagyni a zárójelet? Igen, abban az esetben, ha tisztában vagyunk annak következményeivel, vagyis azzal, hogy közben mi is történt valójában.

Nézzük csak, hogy mi is történt – "valójában"?
- (+2)∙(+3x) az (+6x),
- (+2)∙(+2) az (+4),
- (+1)∙(+4x) az (+4x),
- (+1)∙(+5) az (+5),
- egyenlő 1.

A fentiek alapján kijelenthetjük, hogy semmi varázslat nincs abban, hogy egyes feladatokban "elhagyhatjuk" a zárójelet, másokban viszont nem. Hiszen ez a bizonyos "elhagyás" azt jelenti, hogy ott is "tényleges" zárójelfelbontás történt. Csakhogy abban az esetben a zárójel előtt álló egytagú kifejezés a "+1" volt, amivel a zárójelben levő kifejezéseket szorozva, azok változatlanok maradnak.

Ezek után rátérhetünk az egyik lehetséges módszerre, segítségre.

A zárójelek felbontását segítő módszer kulcsszava: KAPU
Ez semmi különöset nem jelent, mindössze annyit, hogy egy boltívvel (kapuval) jelöljük, hogy éppen mely tagok szorzatát szeretnénk kiszámítani. Így tudjuk kontrollálni egyrészt, hogy éppen most hol tartunk, másrészt, hogy mi lesz a következő lépés.

A bemutatásához nézzünk egy példát:
4. feladat:
3∙(2x + 5) + 2∙(3 + 4x) = 1
A zárójelfelbontáshoz alkalmazzuk az előbb említett "kapu"-kat. Ennek eredményét az alábbi ábra mutatja. (A piros számok a kapuk berajzolásának sorrendjét jelzik.)
Fontos megjegyezni, hogy a kapuk nem azért vannak, hogy ott legyenek, így hiába tesszük ki azokat, nem fognak nekünk segíteni – pedig az lenne a cél, hogy megkönnyítsék a feladatunkat.

Ha nagyon lelassítjuk a folyamatot, akkor a következő lépéseket különböztethetjük meg e módszer alkalmazása során:
1. először berajzoljuk az első ('1'-es jelű) kaput;
2. mondókát gyártunk: mit kell szoroznunk mivel, azaz (+3)∙(+2x);
3. kiszámítjuk a szorzatot;
4. leírjuk az egyenlet következő sorába a kapott szorzatot;

5. berajzoljuk a második ('2"-es jelű) kaput;
6. mondókát gyártunk: (+3)∙(+5);
7. kiszámítjuk a szorzatot;
8. az új egyenletet a kapott szorzattal folytatjuk;

9. berajzoljuk a következő ('3'-as jelű) kaput;
10. mondókát gyártunk: (+2)∙(+3);
11. kiszámítjuk a szorzatot;
12. az új egyenletet a kapott szorzattal folytatjuk;
...

Mint látható, nem rajzoltuk be előre az összes kaput. Ha azzal kezdtük volna, hogy berajzoljuk a kapukat, akkor utána azt is fejben kellett volna tartanunk, hogy éppen mely tagokat kell összeszoroznunk.
Így viszont mindig a legutoljára berajzolt kapunak megfelelő tagokat kell összeszorozni, majd az eredményt a megfelelő helyre írni.
Megfigyelhettük azt is, hogy minden tag előjellel együtt szerepel az egyes mondókákban.

Zárójelfelbontás és az előjelek
Az eddigi feladatokban megfigyelhettük, hogy minden tag előjele '+' volt. Így nem nagyon okozott problémát, hogy a szorzatnak milyen legyen az előjele, nyilván '+'.
Ha a kifejezéseket a (korábban is említett) előjel-együttható-változó trióként kezeljük és a mondókáinkat ennek megfelelően képezzük, akkor nem véthetünk hibát az egyes szorzatok előjelét illetően.
Erre is nézzünk példát:
5. feladat:
2∙(3x - 5) - 3∙(2 - 5x) = 1
Ha a fentieknek megfelelően bejelöljük a kapukat, akkor a mondókáink a következők lesznek:
1. kapu: (+2)∙(+3x) = (+6x);
2. kapu: (+2)∙(-5) = (-10);
3. kapu: (-3)∙(+2) = (-6);
4. kapu: (-3)∙(-5x) = (+15x);

Ennek megfelelően a zárójelfelbontást követő egyenletünk a következőképpen fog kinézni:
6x - 10 - 6 + 15x = 1
Ha a szorzásokat így hajtjuk végre, akkor bizton állíthatom, hogy nem kell azon gondolkodnunk, hogy az egyes szorzatok elé milyen jelnek kell kerülnie, hiszen a szorzat előjele ezt egyértelműen jelzi számunkra.

--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

5 megjegyzés:

  1. köszönöm szépen nagy segítség volt

    VálaszTörlés
  2. Sziasztok! Tudnál nekem segíteni három feladat megoldásában? Lehetőleg a megoldás lépéseivel együtt.

    3*(x-2)*(x-2)= 3*(x-4)*(x-4)

    a másik

    26+5x=32-((4-2x)-(3x+7))-15+x

    a harmadik

    13 5 6
    ---------- = ----- + -----
    (x-2)(x+2) x+2 x-2

    Köszi, Eszter

    VálaszTörlés
  3. Sziasztok tudnátok nekem segiten nem értek egy feladatot 6a+2

    VálaszTörlés
  4. Nincs a zárójel előtt szám ,felkék bontani, hogy?

    VálaszTörlés