2012. július 28., szombat

Hatványozás - alapismeretek

Mi a hatvány? Mit értsünk egy hatvány alatt? Hogyan tudjuk kiszámítani egy hatvány értékét? Mely hatványokat értelmezzük, melyeket nem?
Amennyiben a fenti kérdések között van olyan, amelyre nem tudja a választ, akkor ebben a bejegyzésben megtalálja rá a választ.

Frissítve: Gyakorláshoz elérhető az ALGEBRA következő kötete:
Hatványozás, a hatványozás azonosságai;
Számok négyzete, négyzetgyöke keresése táblázatból

A hatvány alakja – avagy honnan lehet felismerni, hogy hatvánnyal állunk szemben?
Tekintsük a következő hatványt, majd bontsuk elemeire:
(Kiejtése: kettő az ötödiken.)
Ezt az alakot – így, egyben – hívjuk hatványalaknak, azaz az egész 2 az 5-ödiken kifejezés a hatványalak. Ezt további részekre oszthatjuk: a 2 a hatványalap, az 5 pedig a hatványkitevő. Amennyiben nem okoz félreértést, akkor elhagyhatjuk a hatvány előtagot, így a hatványalapot szoktuk röviden "alap"-nak, illetve a hatványkitevőt röviden "kitevő"-nek hívni.

Mit is jelent a fenti hatvány?
Vizsgáljuk meg ezt a kifejezést és tanuljunk meg további elnevezéseket, hogy a későbbiek folyamán már ne legyen ezekkel problémánk!
Láthatjuk, hogy a 2 az 5-ödiken felírható úgy is, hogy a 2-t 5-ször írjuk egymás mellé szorzótényezőként. (Definíció szerint: olyan 5 tényezős szorzat, melynek minden tényezője 2.) Ezt hívjuk szorzatalaknak. Ennek már könnyedén meg tudjuk határozni az eredményét, amit pedig hatványértéknek nevezünk.

Így már minden szükséges elnevezést ismerünk, fogalmazzuk meg újra a hatványalak egyes részeinek jelentését:
- a fentiekből kiderül, hogy a (hatvány-)alap mutatja meg, a szorzat tényezőit,
- a (hatvány-)kitevő pedig azt mutatja meg, hogy hány tényezőből áll a szorzat.

Nézzünk néhány speciális hatványt! :-)

1.) A hatványkitevő értéke 1.
Ebben az esetben a korábbiak szerint 1 tényezős szorzatot kellene előállítani. Mivel ilyen nem létezik, ezért kénytelenek vagyunk külön megmondani, hogy mennyi a hatványok értéke ebben az esetben. Az eredmény maga a hatványalap. Vagyis bármely hatvány értéke egyenlő a hatvány alapjával, persze csak akkor, ha a kitevő értéke 1.

2.) A hatványkitevő értéke 0.
Ekkor a hatvány értéke – a szabály alapján – 1, feltéve, hogy a hatvány alapja nem nulla. Azaz, ha egy hatványban az alap nem 0, de a kitevő pedig igen, akkor abban az esetben a hatványérték 1.
(Az alábbi jelölésben a hatványalap eleme a nullán kívüli valós számok halmazának.)

3.) A hatványalap és a hatványkitevő értéke egyaránt 0.
Ezt az esetet nem tudjuk értelmezni, azaz nulla a nulladikon kifejezés nincs értelmezve. Ha tekintjük az előző két pontban leírtakat és behelyettesítjük a nullát a hatványalap helyére, akkor ellentmondásra jutunk.
(Ha megpróbálnánk abból kiindulni, hogy a nulla bármely hatványa 0, illetve, hogy bármely szám nulladik hatványa 1, akkor a nulla a nulladikon értékével mit teszünk? Ezek után hogyan döntenénk? A hatványérték az 0 lesz vagy 1?) :-)

4.) A hatványkitevő értéke negatív.
Elrettentés: Egy negatív kitevőjű hatvány megegyezik a kitevő abszolútértékére emelt, azonos alapú hatvány reciprok értékével. ;-) Nem kell megijedni, itt a magyarázat is. :-)

Magyarázat: ehhez álljon itt egy példa, melyből látható, hogy a negatív kitevőjű hatvány egy számlálós-nevezős törttel egyenlő, melynek a számlálója 1, a nevezője pedig ugyanaz a hatvány, mint az eredeti, csak ezúttal már pozitív kitevővel.

5.) A kitevő számlálós-nevezős tört alakú.
A teljes megértéshez majd akkor jutunk, amikor már ismerjük, értjük és tudjuk használni az n-edik gyök fogalmat – tegyük fel, hogy ezzel már tisztában vagyunk. ;-)
Az egyszerűség kedvéért nézzünk egy példát:

--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése