Matematikából is tartalmas hírlevelet szeretne kapni?
Gyakorló-feladatok minden hétre, megoldásokkal.
Ha Önnek is kell egy ilyen feladatgyűjtemény,...

  ... akkor iratkozzon fel a heti rendszerességgel érkező Matematika Segítő hírlevelemre, amiből előre értesülhet a megjelenő blogbejegyzés témájáról, olvashat elméleti és gyakorlati tanácsokról, illetve minden hétre küldök egy-egy gyakorló feladatot, melyeknek a megoldásával tovább mélyítheti matematika tudását!
  Ezen felül minden levélben kap egy feladványt, melynek megoldása szintén csiszolja elméjét. –  És mindezt kockázatmentesen...
  A rendszeres (hétfői) gyakorló feladatokat igénylők a következő AJÁNDÉKOK közül VÁLASZTHATNAK:
  A Szöveges feladatok megoldása című, (közel 200 oldalból álló) 6 részes sorozat kötetei, valamint az ehhez szorosan kapcsolódó (70 oldalas) munkafüzet, illetve az ALGEBRA – az Ön segítő partnere programcsomag bemutató – Számok normálalakja, műveletek normálalakban megadott számokkal című – kötete közül.

  Ön tehát melyik ajándékot szeretné?  »»  K L I K K   A   M E G F E L E L Ő   K É P R E !   »»
*********************************************

Ha pedig csak egyetlen témakört szeretne alaposan begyakorolni és az adott témában több feladatra lenne szüksége, kérem rendelje meg az Önnek szükséges témakört gyakoroltató megfelelő feladatlapot!
– KEDVEZMÉNNYEL... CSAK JÚLIUSBAN!!! –

Matematika Segítő – Feladatlapok kedvezményes áron - CSAK JÚLIUSBAN!
(Természetesen megoldásokkal együtt...)

További információk az
adott témát gyakoroltató feladatokról és megoldásaikról:
GYAKOROLNI SZERETNE? PÓTVIZSGÁRA KÉSZÜL?
– Feladatlapok gyakorláshoz...


*********************************************

2012. június 30., szombat

Legkisebb Közös Többszörös kiszámítása

A múlt alkalommal foglalkoztunk a legnagyobb közös osztóval. Most annak a párja, a legkisebb közös többszörös lesz terítéken.
Legtöbbször az oszthatóságnál a törtműveleteknél valamint a tört együtthatós egyenleteknél van nagy szükség a legkisebb közös többszörös megkeresésére, kiszámítására.
Persze ahhoz, hogy ezt meg tudjuk határozni, ahhoz először is tudnunk kell, hogy mit is jelent maga a fogalom, majd egy módszert, amivel könnyedén eljutunk annak az értékéhez.

Legkisebb közös többszörös jelentése:
Két vagy több szám legkisebb közös többszöröse a számok közös többszörösei közül a legkisebb. Jele: [   ;    ], illetve LKKT.
(Ez utóbbit inkább csak rövidítésként használjuk) :-)
Hogyan is értsük a fenti definíciót? Induljunk ki a fogalom szavainak jelentéséből.
közös többszörös: a számok azon többszörösei, melyek mindkét (vagy több) számnak többszörösei,
legkisebb: ezek közül kell megkeresnünk a legkisebbet.

Egy lehetőség a kiszámításra:
1. feladat:
Keressük meg a 2 és a 3 legkisebb közös többszörösét!
Ha a szabály alapján haladunk (ilyen kis számoknál ezt is megtehetjük), akkor először meg kell keresnünk a számok többszöröseit:
2 többszörösei: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...;
3 többszörösei: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, ...

Ezek után keressük meg ezek közül a közös többszörösöket, azaz azokat, melyek mindkettő szám többszörösei között szerepelnek. Ezek a 6, 12, 18, 24, 30, ...
Végül válasszuk a közös többszörösök közül a legkisebbet, jelen esetben ez a 6.
Tehát: [2; 3] = 6. (olv.: A 2 és a 3 legkisebb közös többszöröse 6.)

Nézzünk olyan esetet, ahol több szám szerepel:
2. feladat:
Keressük meg a 2, 3 és 5 legkisebb közös többszörösét!
Jelöléssel: [2; 3; 5] = ?
Az előzőek szerint a többszörösök külön-külön:
2 többszörösei: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, ...;
3 többszörösei: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, ...;
többszörösei: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, ....

Válasszuk ki ezek közül a közös 2 többszörösöket: 30, 60, 90, ...;

Végül ezek közül a legkisebb: 30.
Tehát a legkisebb szám ami a 2-nek, 3-nak és az 5-nek is többszöröse, az a 30.
Jelöléssel: [2; 3; 5] = 30.

A legkisebb közös többszörös kiszámításának másik módja:
A módszer lépései:
1: Elkészítjük a számok prímtényezős felbontását;
2: Kigyűjtjük az ÖSSZES prímtényezőt és azokat felírjuk szorzótényezőként;
3: Az előforduló legNAGYOBB kitevőre emeljük az előbbi prímtényezőket.
Nézzük egy példán keresztül a fenti lépések alkalmazását:
3. feladat:
Számítsuk ki a 12 és a 45 legkisebb közös többszörösét! Jelöléssel: [12; 45] = ?
1. lépés: "...prímtényezős felbontás..."
     12 = 2²∙3¹;
     45 = 3²∙5¹;

2. lépés: "...összes prímtényező..."
     a prímtényezők alapján a szorzat: 2∙3∙5;

3. lépés: "...legnagyobb kitevő..."
     a megfelelő kitevők felhasználásával: 2²∙3²∙5¹;

Ezek alapján: [12; 45] = 2²∙3²∙5¹ = 180.

(A 2. és a 3. lépést célszerű így szétválasztani – legalábbis akkor, amikor még nem vagyunk biztosak a kiszámítás módjában. Amennyiben már túl vagyunk jó néhány feladaton, akkor már nem kell ennyire kategorikusan elkülönítenünk az egyes lépéseket.)

Legkisebb közös többszörös alkalmazása:
A leggyakrabban előforduló feladat, ahol szükséges a LKKT keresése, az a különböző nevezőjű törtek összeadása illetve kivonása.
Ezeknél a műveleteknél – mint tudjuk – először közös nevezőre hozzuk a törteket (bővítéssel), majd összeadjuk vagy kivonjuk a számlálókat, míg a nevezőt már nem változtatjuk.
De melyik számot célszerű közös nevezőnek választani? Nyilván azt, amelyik mindkettő nevezőnek többszöröse, sőt ha lehet, akkor az legyen a legkisebb. Vagyis ez a szám az előforduló nevezők legkisebb közös többszöröse.
4. feladat:
Állapítsuk meg az alábbi törtek közös nevezőjét, majd végezzük el az összeadást!

Ha a fenti módon megállapítjuk, hogy a legkisebb közös többszörösük 180 (lásd 3. feladat), az azt jelenti, hogy a törteket olyan törtekké alakítjuk (bővítjük), amelyeknek a nevezője 180.
Ezek alapján:
valamint

Ezeket felhasználva az összeadás már könnyedén elvégezhető:
Vagyis a végeredmény:


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

21 megjegyzés:

  1. Köszönöm,sokat segített!

    VálaszTörlés
  2. nagyon jó sokat segített

    VálaszTörlés
  3. Köszi szépen :) nagyon sokat segített!!!

    VálaszTörlés
  4. El se hinnétek mennyit segítettetek! :-)

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Nagyon szívesen!
      Köszönöm a pozitív visszajelzéseket!

      Törlés
  5. Sokat segitettel :P

    VálaszTörlés
  6. Uram, ön többet segített nekem, mint az el tudja képzelni. Maga miatt nem kaptam egyest. Felvidított ezzel egy 14 éves lányt. Engem. Minden tiszteletem!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Dominika!

      Gratulálok az elért, sikeres eredményéhez!
      Nagyon szépen köszönöm a pozitív visszajelzést, örülök, hogy segíthettem.

      További vidám napot és jó gyakorlást kívánok!

      Törlés
  7. mostmár képben vagyok ezzel az anyaggal :)

    VálaszTörlés
  8. egy nyamvadt szót nem értek az egészből -.-

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Névtelen!
      Ez Bárkivel előfordulhat, semmi baj.
      Azonban csak Önön múlik, hogy mennyire kitartó ahhoz, hogy ezzel az akadállyal is megküzdjön.

      Törlés
  9. Köszönön szépen! Rengeteget segített, azzal, hogy leírta ezt ide! Jobban indúl a jövõ évem, és ezt mind önnek köszönhetem!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Köszönöm a visszajelzést, nagyon szívesen.
      Az új tanévig pedig jó pihenést kívánok! :-)

      Törlés