2012. május 19., szombat

Oszthatósági szabályok

Sok esetben lehet/van szükség arra, hogy egy számról el tudjuk dönteni, hogy egy másik számmal osztható-e. Természetesen mindezt úgy, hogy ne kelljen elvégezni az osztást.
Erre szolgálnak az oszthatósági szabályok, melyek révén – az osztás tényleges elvégzése nélkül – megtudhatjuk, hogy az osztás maradéka 0 vagy nem nulla. Sok esetben még az is kiderül, hogyha nem nulla a maradék, akkor az pontosan mennyi.

Az alaphalmazunk legyen a természetes számok halmaza, azaz – ebben a témakörben – csak természetes számokkal végzünk műveleteket. Tehát, ha "szám"-ról beszélünk, akkor itt most csak a természetes számokat értjük alatta.
Az osztható kifejezés alatt azt értjük, hogyha az egyik számot elosztjuk a másikkal, akkor a maradék nulla lesz. Ekkor az első szám osztható a második számmal.
Matematikai jelekkel leírva: a osztható b-vel, ha az a:b osztás maradéka (M=) 0. (Az általános oszthatóságra vonatkozó szabály pedig: Egy a szám osztható a b számmal, ha van olyan c szám, melyekre igaz, hogy b·c = a, ahol az a, b, c є Z)

10 – 2 – 5 oszthatósági szabálya (10 = 2·5)
Azt sokan tudják, hogy egy szám akkor osztható 2-vel, ha a szám 0-ra, 2-re, 4-re, 6-ra vagy 8-ra végződik. Azzal is sokan tisztában vannak, hogyha egy szám nullára végződik, akkor az osztható 10-zel. Sőt még azt sem nehéz tudni, hogy mikor osztható egy szám 5-tel? A választ azonnal halljuk: ha a szám 5-re vagy 0-ra végződik.

Nos, az előbb felsoroltaknál – szerintem – nagyon sok számot kell megjegyeznünk. Szerencsésebbnek tartom az összefüggések megjegyzését, hiszen így 1 db összefüggés megértésével több oszthatósági szabályt is "elővarázsolhatunk".

Ha például figyelembe vesszük, hogy 2·5 = 10, és ismerjük a 10-re vonatkozó – általános – oszthatósági szabályt, akkor azt alkalmazhatjuk a 2-re és az 5-re is. Ha a 10-re vonatkozólag "csak" a fenti szabályt tudjuk, azzal nagyon sok esetben jutnánk hibás megoldásra. Ám abban az esetben, ha egy általános szabályt ismerünk, akkor az nem befolyásolja a 2-re és 5-re vonatkozó megoldásokat.
Egy szám akkor osztható 10-zel,
ha a szám utolsó számjegye osztható 10-zel.
A szám utolsó számjegye az az egyes helyiértéken álló számot jelenti. Ha ez a szám osztható 10-zel, az csakis akkor következhet be, ha az a szám éppen a nulla. Tehát az eredeti szám 0-ra végződik, Mint látható, a korábbi ismereteinkhez jutottunk.
Ugyanezt a szabályt alkalmazhatjuk a 2-re és az 5-re is:
Egy szám akkor osztható 2-vel,
ha a szám utolsó számjegye osztható 2-vel.

Egy szám akkor osztható 5-tel,
ha a szám utolsó számjegye osztható 5-tel.
Ha a fentieket megvizsgáljuk, ugyanazt kapjuk, mint a 10 esetében. Mely számok lehetnek az utolsó helyiértéken, amelyek oszthatók 2-vel? Ezek csak a 0, 2, 4, 6 és a 8 lehet. Az 5 esetében pedig a 0 és az 5. Tehát megint oda jutottunk, mint az előbb.

Mondhatnánk, hogy "így is 3 szabályunk van", nem lett kevesebb.
Ez igaz is, csakhogy nézzük meg ezeket a szabályokat! A szövegezésük teljesen megegyezik, mindössze a számokat kell kicserélni a megfelelőre. Ha pedig visszaemlékszünk, hogy 2·5 = 10, akkor nem hiszem, hogy nagy problémát okoz a "három" szabály megtanulása.

100 – 4 – 25 oszthatósági szabálya (100 = 4·25)
A fenti gondolatsorhoz hasonlóan belátható, hogy érvényesek a következő szabályok is. Azt ugye tudjuk, hogyha egy szám két nullára végződik, akkor az osztható 100-zal. Ebből kifolyólag a következő – általános – szabályt fogalmazhatjuk meg:
Egy szám akkor osztható 100-zal, ha az utolsó két számjegyéből alkotott kétjegyű szám osztható 100-zal.
Ez azt jelenti, hogy megnézzük az eredeti szám utolsó két számjegyét, amit egy kétjegyű számként tekintünk. Ezt megvizsgálva, csak a 0 (00) lehet, ami osztható 100-zal, vagyis ugyanúgy, a korábbi szabályhoz jutottunk.

Az ehhez kapcsolódó további szabályok:
Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyéből alkotott kétjegyű szám osztható 4-gyel.

Egy szám akkor osztható 25-tel, ha az utolsó két számjegyéből alkotott kétjegyű szám osztható 25-tel.
Itt is jól látható, hogy milyen szoros kapcsolat van a három szabály között. :-)

1000 – 8 – 125 oszthatósági szabálya (1000 = 8·125)
Az előzőekből következtethetjük a megfelelő szabályokat, nem is szaporítom a sorokat:

Egy szám akkor osztható 1000-rel, ha az utolsó három számjegyéből alkotott háromjegyű szám osztható 1000-rel.

Egy szám akkor osztható 8-cal, ha az utolsó három számjegyéből alkotott háromjegyű szám osztható 8-cal.

Egy szám akkor osztható 125-tel, ha az utolsó három számjegyéből alkotott háromjegyű szám osztható 125-tel.

Összefüggések az eddigi szabályokban
Most már 9 oszthatósági szabályt tudunk, annak ellenére, hogy 3 majdnem különkülönböző szabályt tartunk fejben.
Hogyan tudnánk ezek között is kapcsolatot keresni?
Ha jól megfigyeljük őket, akkor észrevehetjük a következőket:
10 = 2·5, vagyis 10¹ = 2¹·5¹
100 = 4·25, vagyis 10² = 2²·5²
1000 = 8·125, vagyis 10³ = 2³·5³
A kitevőket tekintve éppen annyit mutat, mint amennyi számjegyből alkotott számokat kell vizsgálnunk. Az első esetben az utolsó 1 jegy, a másodikban az utolsó 2 jegy, végül az utolsó 3 jegy. Persze ezt a sort folytathatnánk az utolsó 4 jegy, stb., de ezekhez az osztásokhoz már inkább számológépet használunk.

Vagyis ha tudjuk az első szabályt, valamint ez utóbbi összefüggéseket, akkor csak a megfelelő számokat kell behelyettesítenünk.
Ha tudjuk, hogy:
Egy szám akkor osztható 10-zel,
ha az utolsó 1 számjegye osztható 10-zel.
ÉS még azt is tudjuk, hogy a 10-et és az 1-et milyen más számokkal helyettesíthetjük, akkor már nem is olyan nehéz fejben tartani ezeket a szabályokat.

Általában:
Egy szám akkor osztható aⁿ-nel, ha az utolsó n jegyéből alkotott n-jegyű szám osztható aⁿ-nel, ahol az a lehet 10, 2, 5, az n pedig 1, 2, 3, ...
Itt persze megspórolhatjuk a "jegyéből alkotott n-jegyű" szavakat annak érdekében, hogy minél rövidebb legyen a szabály – DE az alkalmazásnál figyelembe kell vennünk! :-)

Az utóbbi szabályt visszaolvasva, elég rejtélyesnek tűnhet a sok, betűs kifejezés miatt, de, ha figyelembe vesszük az eddig vezető gondolatsort, remélem, hogy mégsem olyan kacifántos. ;-)

9 – 3 oszthatósági szabálya
Ezeknek az oszthatósági szabályoknak az eddigiektől eltérő szövegezése lesz, mégpedig:
Egy szám akkor osztható 9-cel,
ha a számjegyeinek az összege osztható 9-cel.

Egy szám akkor osztható 3-mal,
ha a számjegyeinek az összege osztható 3-mal.
Mivel ezek a szabályok is nagyban hasonlítanak egyrészt az előzőekhez, másrészt egymáshoz, ezért gyakorlatilag kijelenthetjük, hogy összesen kétféle szabályt kell memorizálnunk:
1.) az egyikben az utolsó számjegyeket,
2.) a másikban a számjegyek összegét kell vizsgálnunk.

Az első csoportba tartoznak a 10-2-5, 100-4-25, 1000-8-125, míg a másodikba a 9 és a 3.

A fenti állítások egzakt bizonyításra általános iskolában nincs szükség, mindössze "elfogadjuk", hogy ezek így működnek. A középiskolában viszont már szükség van annak belátására, hogy ezek a szabályok valóban "működnek". :-)


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése